Calcul infinitésimal Exemples

$y = 8 x^{3} e^{- x}$

Étape 1

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8 x^{3} e^{- x}$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [x^{3} e^{- x}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x^{3} e^{- x}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = e^{- x}$ .

$8 (x^{3} \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - x$ .

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Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- x$ .

$8 (x^{3} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$8 (x^{3} (e^{u} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- x$ .

$8 (x^{3} (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 4

Différenciez.

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Étape 4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 (x^{3} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$8 (x^{3} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 4.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.3.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$8 (x^{3} (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 4.3.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $e^{- x}$ .

$8 (x^{3} (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 4.3.3

Réécrivez $- 1 e^{- x}$ comme $- e^{- x}$ .

$8 (x^{3} (- e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 4.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$8 (x^{3} (- e^{- x}) + e^{- x} (3 x^{2}))$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$8 (x^{3} (- e^{- x})) + 8 (e^{- x} (3 x^{2}))$

Étape 5.2

Associez des termes.

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Étape 5.2.1

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$- 8 (x^{3} (e^{- x})) + 8 (e^{- x} (3 x^{2}))$

Étape 5.2.2

Multipliez $3$ par $8$ .

$- 8 x^{3} e^{- x} + 24 e^{- x} x^{2}$

Étape 5.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 8 e^{- x} x^{3} + 24 e^{- x} x^{2}$

Étape 5.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- 8 e^{- x} x^{3} + 24 e^{- x} x^{2}$ .

$- 8 x^{3} e^{- x} + 24 x^{2} e^{- x}$