Calcul infinitésimal Exemples

$y = \cos (\frac{x}{x - 1})$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = \frac{x}{x - 1}$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{x}{x - 1}$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{x - 1}]$

Étape 1.2

La dérivée de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [\frac{x}{x - 1}]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{x}{x - 1}$ .

$- \sin (\frac{x}{x - 1}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{x - 1}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x$ et $g (x) = x - 1$ .

$- \sin (\frac{x}{x - 1}) \frac{(x - 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- \sin (\frac{x}{x - 1}) \frac{(x - 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 3.2

Multipliez $x - 1$ par $1$ .

$- \sin (\frac{x}{x - 1}) \frac{x - 1 - x \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$- \sin (\frac{x}{x - 1}) \frac{x - 1 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- \sin (\frac{x}{x - 1}) \frac{x - 1 - x (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 3.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- \sin (\frac{x}{x - 1}) \frac{x - 1 - x (1 + 0)}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 3.6

Simplifiez les termes.

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Étape 3.6.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$- \sin (\frac{x}{x - 1}) \frac{x - 1 - x \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 3.6.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- \sin (\frac{x}{x - 1}) \frac{x - 1 - x}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 3.6.3

Soustrayez $x$ de $x$ .

$- \sin (\frac{x}{x - 1}) \frac{0 - 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 3.6.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.6.4.1

Soustrayez $1$ de $0$ .

$- \sin (\frac{x}{x - 1}) \frac{- 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 3.6.4.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \sin (\frac{x}{x - 1}) (- \frac{1}{{(x - 1)}^{2}})$

Étape 3.6.4.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 \sin (\frac{x}{x - 1}) \frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 3.6.4.4

Multipliez $\sin (\frac{x}{x - 1})$ par $1$ .

$\sin (\frac{x}{x - 1}) \frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 3.6.5

Associez $\sin (\frac{x}{x - 1})$ et $\frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$ .

$\frac{\sin (\frac{x}{x - 1})}{{(x - 1)}^{2}}$