Calcul infinitésimal Exemples

$y = \cos (\sqrt{x})$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x^{\frac{1}{2}})]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 2.2

La dérivée de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{\frac{1}{2}}$ .

$- \sin (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$- \sin (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Étape 4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$- \sin (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Étape 5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$- \sin (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \sin (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- \sin (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Étape 7.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$- \sin (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Étape 8

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \sin (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Étape 9

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$- \sin (x^{\frac{1}{2}}) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Étape 10

Associez $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ et $\sin (x^{\frac{1}{2}})$ .

$- \frac{x^{- \frac{1}{2}} \sin (x^{\frac{1}{2}})}{2}$

Étape 11

Placez $x^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{\sin (x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$