Calcul infinitésimal Exemples

$y = \arctan (\frac{e^{2 x}}{3})$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \arctan (x)$ et $g (x) = \frac{e^{2 x}}{3}$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\frac{e^{2 x}}{3}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\arctan (u_{1})] \frac{d}{d x} [\frac{e^{2 x}}{3}]$

Étape 1.2

La dérivée de $\arctan (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{e^{2 x}}{3}]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\frac{e^{2 x}}{3}$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{e^{2 x}}{3})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{e^{2 x}}{3}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 2.1

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{e^{2 x}}{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{e^{2 x}}{3})}^{2}} (\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [e^{2 x}])$

Étape 2.2

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{1}{1 + {(\frac{e^{2 x}}{3})}^{2}}$ .

$\frac{1}{3 (1 + {(\frac{e^{2 x}}{3})}^{2})} \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $2 x$ .

$\frac{1}{3 (1 + {(\frac{e^{2 x}}{3})}^{2})} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ est $a^{u_{2}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{1}{3 (1 + {(\frac{e^{2 x}}{3})}^{2})} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $2 x$ .

$\frac{1}{3 (1 + {(\frac{e^{2 x}}{3})}^{2})} (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 4

Différenciez.

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Étape 4.1

Associez $e^{2 x}$ et $\frac{1}{3 (1 + {(\frac{e^{2 x}}{3})}^{2})}$ .

$\frac{e^{2 x}}{3 (1 + {(\frac{e^{2 x}}{3})}^{2})} \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 4.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{e^{2 x}}{3 (1 + {(\frac{e^{2 x}}{3})}^{2})} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.3

Associez $2$ et $\frac{e^{2 x}}{3 (1 + {(\frac{e^{2 x}}{3})}^{2})}$ .

$\frac{2 e^{2 x}}{3 (1 + {(\frac{e^{2 x}}{3})}^{2})} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{2 e^{2 x}}{3 (1 + {(\frac{e^{2 x}}{3})}^{2})} \cdot 1$

Étape 4.5

Multipliez $\frac{2 e^{2 x}}{3 (1 + {(\frac{e^{2 x}}{3})}^{2})}$ par $1$ .

$\frac{2 e^{2 x}}{3 (1 + {(\frac{e^{2 x}}{3})}^{2})}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{e^{2 x}}{3}$ .

$\frac{2 e^{2 x}}{3 (1 + \frac{{(e^{2 x})}^{2}}{3^{2}})}$

Étape 5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 e^{2 x}}{3 \cdot 1 + 3 \frac{{(e^{2 x})}^{2}}{3^{2}}}$

Étape 5.3

Associez des termes.

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Étape 5.3.1

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{2 e^{2 x}}{3 + 3 \frac{{(e^{2 x})}^{2}}{3^{2}}}$

Étape 5.3.2

Multipliez les exposants dans ${(e^{2 x})}^{2}$ .

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Étape 5.3.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 e^{2 x}}{3 + 3 \frac{e^{2 x \cdot 2}}{3^{2}}}$

Étape 5.3.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{2 e^{2 x}}{3 + 3 \frac{e^{4 x}}{3^{2}}}$

Étape 5.3.3

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\frac{2 e^{2 x}}{3 + 3 \frac{e^{4 x}}{9}}$

Étape 5.3.4

Associez $3$ et $\frac{e^{4 x}}{9}$ .

$\frac{2 e^{2 x}}{3 + \frac{3 e^{4 x}}{9}}$

Étape 5.3.5

Annulez le facteur commun à $3$ et $9$ .

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Étape 5.3.5.1

Factorisez $3$ à partir de $3 e^{4 x}$ .

$\frac{2 e^{2 x}}{3 + \frac{3 (e^{4 x})}{9}}$

Étape 5.3.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.5.2.1

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$\frac{2 e^{2 x}}{3 + \frac{3 e^{4 x}}{3 \cdot 3}}$

Étape 5.3.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 e^{2 x}}{3 + \frac{3 e^{4 x}}{3 \cdot 3}}$

Étape 5.3.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 e^{2 x}}{3 + \frac{e^{4 x}}{3}}$

Étape 5.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.4.1

Pour écrire $3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 e^{2 x}}{3 \cdot \frac{3}{3} + \frac{e^{4 x}}{3}}$

Étape 5.4.2

Associez $3$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 e^{2 x}}{\frac{3 \cdot 3}{3} + \frac{e^{4 x}}{3}}$

Étape 5.4.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 e^{2 x}}{\frac{3 \cdot 3 + e^{4 x}}{3}}$

Étape 5.4.4

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{2 e^{2 x}}{\frac{9 + e^{4 x}}{3}}$

Étape 5.5

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$2 e^{2 x} \frac{3}{9 + e^{4 x}}$

Étape 5.6

Multipliez $2 e^{2 x} \frac{3}{9 + e^{4 x}}$ .

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Étape 5.6.1

Associez $\frac{3}{9 + e^{4 x}}$ et $2$ .

$\frac{3 \cdot 2}{9 + e^{4 x}} e^{2 x}$

Étape 5.6.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{6}{9 + e^{4 x}} e^{2 x}$

Étape 5.6.3

Associez $\frac{6}{9 + e^{4 x}}$ et $e^{2 x}$ .

$\frac{6 e^{2 x}}{9 + e^{4 x}}$