Calcul infinitésimal Exemples

$y = \arcsin (\sqrt{x})$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\arcsin (x^{\frac{1}{2}})]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \arcsin (x)$ et $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u} [\arcsin (u)] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 2.2

La dérivée de $\arcsin (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 3

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{\sqrt{1 - x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 3.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{\sqrt{1 - x^{1}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 4

Simplifiez

$\frac{1}{\sqrt{1 - x}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - x}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Étape 6

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - x}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Étape 7

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - x}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{\sqrt{1 - x}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - x}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Étape 9.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - x}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Étape 10

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{\sqrt{1 - x}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Étape 11

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - x}} \cdot \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Étape 12

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{1 - x}}$ par $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x} \cdot 2}$

Étape 13

Simplifiez l’expression.

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Étape 13.1

Déplacez $2$ à gauche de $\sqrt{1 - x}$ .

$\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2 \cdot \sqrt{1 - x}}$

Étape 13.2

Placez $x^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 \sqrt{1 - x} x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 13.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - x}}$