Calcul infinitésimal Exemples

$y = \cos ({(π x)}^{4})$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = {(π x)}^{4}$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme ${(π x)}^{4}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(π x)}^{4}]$

Étape 1.2

La dérivée de $\cos (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [{(π x)}^{4}]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par ${(π x)}^{4}$ .

$- \sin ({(π x)}^{4}) \frac{d}{d x} [{(π x)}^{4}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{4}$ et $g (x) = π x$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $π x$ .

$- \sin ({(π x)}^{4}) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{4}] \frac{d}{d x} [π x])$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$- \sin ({(π x)}^{4}) (4 {u_{2}}^{3} \frac{d}{d x} [π x])$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $π x$ .

$- \sin ({(π x)}^{4}) (4 {(π x)}^{3} \frac{d}{d x} [π x])$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$- 4 \sin ({(π x)}^{4}) ({(π x)}^{3} \frac{d}{d x} [π x])$

Étape 3.2

Comme $π$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $π x$ par rapport à $x$ est $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 \sin ({(π x)}^{4}) ({(π x)}^{3} (π \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 4 \sin ({(π x)}^{4}) ({(π x)}^{3} π \cdot 1)$

Étape 3.4

Multipliez ${(π x)}^{3}$ par $1$ .

$- 4 \sin ({(π x)}^{4}) ({(π x)}^{3} π)$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Appliquez la règle de produit à $π x$ .

$- 4 \sin (π^{4} x^{4}) ({(π x)}^{3} π)$

Étape 4.2

Appliquez la règle de produit à $π x$ .

$- 4 \sin (π^{4} x^{4}) (π^{3} x^{3} π)$

Étape 4.3

Associez des termes.

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Étape 4.3.1

Élevez $π$ à la puissance $1$ .

$- 4 \sin (π^{4} x^{4}) (x^{3} (π^{3} π^{1}))$

Étape 4.3.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 4 \sin (π^{4} x^{4}) (x^{3} π^{3 + 1})$

Étape 4.3.3

Additionnez $3$ et $1$ .

$- 4 \sin (π^{4} x^{4}) (x^{3} π^{4})$

Étape 4.4

Réorganisez les facteurs de $- 4 \sin (π^{4} x^{4}) (x^{3} π^{4})$ .

$- 4 π^{4} x^{3} \sin (π^{4} x^{4})$