Calcul infinitésimal Exemples

$y = \arctan (\frac{x}{4}) - \frac{1}{2 (x^{2} + 16)}$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\arctan (\frac{x}{4}) - \frac{1}{2 (x^{2} + 16)}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\arctan (\frac{x}{4})] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 (x^{2} + 16)}]$ .

$\frac{d}{d x} [\arctan (\frac{x}{4})] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 (x^{2} + 16)}]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\arctan (\frac{x}{4})]$ .

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \arctan (x)$ et $g (x) = \frac{x}{4}$ .

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Étape 2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\frac{x}{4}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\arctan (u_{1})] \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 (x^{2} + 16)}]$

Étape 2.1.2

La dérivée de $\arctan (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 (x^{2} + 16)}]$

Étape 2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\frac{x}{4}$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x}{4})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 (x^{2} + 16)}]$

Étape 2.2

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x}{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x}{4})}^{2}} (\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 (x^{2} + 16)}]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x}{4})}^{2}} (\frac{1}{4} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 (x^{2} + 16)}]$

Étape 2.4

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $1$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x}{4})}^{2}} \cdot \frac{1}{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 (x^{2} + 16)}]$

Étape 2.5

Multipliez $\frac{1}{1 + {(\frac{x}{4})}^{2}}$ par $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{(1 + {(\frac{x}{4})}^{2}) \cdot 4} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 (x^{2} + 16)}]$

Étape 2.6

Déplacez $4$ à gauche de $1 + {(\frac{x}{4})}^{2}$ .

$\frac{1}{4 (1 + {(\frac{x}{4})}^{2})} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 (x^{2} + 16)}]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 (x^{2} + 16)}]$ .

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Étape 3.1

Comme $- \frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{1}{2 (x^{2} + 16)}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + 16}]$ .

$\frac{1}{4 (1 + {(\frac{x}{4})}^{2})} - \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + 16}]$

Étape 3.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{2} + 16}$ comme ${(x^{2} + 16)}^{- 1}$ .

$\frac{1}{4 (1 + {(\frac{x}{4})}^{2})} - \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 16)}^{- 1}]$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{2} + 16$ .

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Étape 3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $x^{2} + 16$ .

$\frac{1}{4 (1 + {(\frac{x}{4})}^{2})} - \frac{1}{2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 16])$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$\frac{1}{4 (1 + {(\frac{x}{4})}^{2})} - \frac{1}{2} (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 16])$

Étape 3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $x^{2} + 16$ .

$\frac{1}{4 (1 + {(\frac{x}{4})}^{2})} - \frac{1}{2} (- {(x^{2} + 16)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 16])$

Étape 3.4

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 16$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]$ .

$\frac{1}{4 (1 + {(\frac{x}{4})}^{2})} - \frac{1}{2} (- {(x^{2} + 16)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]))$

Étape 3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{4 (1 + {(\frac{x}{4})}^{2})} - \frac{1}{2} (- {(x^{2} + 16)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [16]))$

Étape 3.6

Comme $16$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $16$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{4 (1 + {(\frac{x}{4})}^{2})} - \frac{1}{2} (- {(x^{2} + 16)}^{- 2} (2 x + 0))$

Étape 3.7

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$\frac{1}{4 (1 + {(\frac{x}{4})}^{2})} - \frac{1}{2} (- {(x^{2} + 16)}^{- 2} (2 x))$

Étape 3.8

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{1}{4 (1 + {(\frac{x}{4})}^{2})} - \frac{1}{2} (- 2 {(x^{2} + 16)}^{- 2} x)$

Étape 3.9

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$\frac{1}{4 (1 + {(\frac{x}{4})}^{2})} + 2 (\frac{1}{2}) ({(x^{2} + 16)}^{- 2} x)$

Étape 3.10

Associez $2$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4 (1 + {(\frac{x}{4})}^{2})} + \frac{2}{2} ({(x^{2} + 16)}^{- 2} x)$

Étape 3.11

Associez ${(x^{2} + 16)}^{- 2}$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{4 (1 + {(\frac{x}{4})}^{2})} + \frac{{(x^{2} + 16)}^{- 2} \cdot 2}{2} x$

Étape 3.12

Associez $\frac{{(x^{2} + 16)}^{- 2} \cdot 2}{2}$ et $x$ .

$\frac{1}{4 (1 + {(\frac{x}{4})}^{2})} + \frac{{(x^{2} + 16)}^{- 2} \cdot 2 x}{2}$

Étape 3.13

Déplacez $2$ à gauche de ${(x^{2} + 16)}^{- 2}$ .

$\frac{1}{4 (1 + {(\frac{x}{4})}^{2})} + \frac{2 \cdot {(x^{2} + 16)}^{- 2} x}{2}$

Étape 3.14

Placez ${(x^{2} + 16)}^{- 2}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{4 (1 + {(\frac{x}{4})}^{2})} + \frac{2 x}{2 {(x^{2} + 16)}^{2}}$

Étape 3.15

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.15.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{4 (1 + {(\frac{x}{4})}^{2})} + \frac{2 x}{2 {(x^{2} + 16)}^{2}}$

Étape 3.15.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{4 (1 + {(\frac{x}{4})}^{2})} + \frac{x}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{x}{4}$ .

$\frac{1}{4 (1 + \frac{x^{2}}{4^{2}})} + \frac{x}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Étape 4.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{4 \cdot 1 + 4 \frac{x^{2}}{4^{2}}} + \frac{x}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Étape 4.3

Associez des termes.

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Étape 4.3.1

Multipliez $4$ par $1$ .

$\frac{1}{4 + 4 \frac{x^{2}}{4^{2}}} + \frac{x}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Étape 4.3.2

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$\frac{1}{4 + 4 \frac{x^{2}}{16}} + \frac{x}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Étape 4.3.3

Associez $4$ et $\frac{x^{2}}{16}$ .

$\frac{1}{4 + \frac{4 x^{2}}{16}} + \frac{x}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Étape 4.3.4

Annulez le facteur commun à $4$ et $16$ .

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Étape 4.3.4.1

Factorisez $4$ à partir de $4 x^{2}$ .

$\frac{1}{4 + \frac{4 (x^{2})}{16}} + \frac{x}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Étape 4.3.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.3.4.2.1

Factorisez $4$ à partir de $16$ .

$\frac{1}{4 + \frac{4 x^{2}}{4 \cdot 4}} + \frac{x}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Étape 4.3.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{4 + \frac{4 x^{2}}{4 \cdot 4}} + \frac{x}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Étape 4.3.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{4 + \frac{x^{2}}{4}} + \frac{x}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Étape 4.3.5

Pour écrire $\frac{1}{4 + \frac{x^{2}}{4}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{{(x^{2} + 16)}^{2}}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$ .

$\frac{1}{4 + \frac{x^{2}}{4}} \cdot \frac{{(x^{2} + 16)}^{2}}{{(x^{2} + 16)}^{2}} + \frac{x}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Étape 4.3.6

Pour écrire $\frac{x}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4 + \frac{x^{2}}{4}}{4 + \frac{x^{2}}{4}}$ .

$\frac{1}{4 + \frac{x^{2}}{4}} \cdot \frac{{(x^{2} + 16)}^{2}}{{(x^{2} + 16)}^{2}} + \frac{x}{{(x^{2} + 16)}^{2}} \cdot \frac{4 + \frac{x^{2}}{4}}{4 + \frac{x^{2}}{4}}$

Étape 4.3.7

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(4 + \frac{x^{2}}{4}) {(x^{2} + 16)}^{2}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.3.7.1

Multipliez $\frac{1}{4 + \frac{x^{2}}{4}}$ par $\frac{{(x^{2} + 16)}^{2}}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$ .

$\frac{{(x^{2} + 16)}^{2}}{(4 + \frac{x^{2}}{4}) {(x^{2} + 16)}^{2}} + \frac{x}{{(x^{2} + 16)}^{2}} \cdot \frac{4 + \frac{x^{2}}{4}}{4 + \frac{x^{2}}{4}}$

Étape 4.3.7.2

Multipliez $\frac{x}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$ par $\frac{4 + \frac{x^{2}}{4}}{4 + \frac{x^{2}}{4}}$ .

$\frac{{(x^{2} + 16)}^{2}}{(4 + \frac{x^{2}}{4}) {(x^{2} + 16)}^{2}} + \frac{x (4 + \frac{x^{2}}{4})}{{(x^{2} + 16)}^{2} (4 + \frac{x^{2}}{4})}$

Étape 4.3.7.3

Réorganisez les facteurs de $(4 + \frac{x^{2}}{4}) {(x^{2} + 16)}^{2}$ .

$\frac{{(x^{2} + 16)}^{2}}{{(x^{2} + 16)}^{2} (4 + \frac{x^{2}}{4})} + \frac{x (4 + \frac{x^{2}}{4})}{{(x^{2} + 16)}^{2} (4 + \frac{x^{2}}{4})}$

Étape 4.3.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{{(x^{2} + 16)}^{2} + x (4 + \frac{x^{2}}{4})}{{(x^{2} + 16)}^{2} (4 + \frac{x^{2}}{4})}$