Calcul infinitésimal Exemples

$y = 6 x^{2} (4 x^{5} - 7 x^{2})$

Étape 1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x^{2} (4 x^{5} - 7 x^{2})$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x^{2} (4 x^{5} - 7 x^{2})]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{2} (4 x^{5} - 7 x^{2})]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = 4 x^{5} - 7 x^{2}$ .

$6 (x^{2} \frac{d}{d x} [4 x^{5} - 7 x^{2}] + (4 x^{5} - 7 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x^{5} - 7 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$ .

$6 (x^{2} (\frac{d}{d x} [4 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]) + (4 x^{5} - 7 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 3.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{5}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$6 (x^{2} (4 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]) + (4 x^{5} - 7 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$6 (x^{2} (4 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]) + (4 x^{5} - 7 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 3.4

Multipliez $5$ par $4$ .

$6 (x^{2} (20 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]) + (4 x^{5} - 7 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 3.5

Comme $- 7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 7 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 (x^{2} (20 x^{4} - 7 \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (4 x^{5} - 7 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$6 (x^{2} (20 x^{4} - 7 (2 x)) + (4 x^{5} - 7 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 3.7

Multipliez $2$ par $- 7$ .

$6 (x^{2} (20 x^{4} - 14 x) + (4 x^{5} - 7 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 3.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$6 (x^{2} (20 x^{4} - 14 x) + (4 x^{5} - 7 x^{2}) (2 x))$

Étape 3.9

Déplacez $2$ à gauche de $4 x^{5} - 7 x^{2}$ .

$6 (x^{2} (20 x^{4} - 14 x) + 2 \cdot (4 x^{5} - 7 x^{2}) x)$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$6 (x^{2} (20 x^{4}) + x^{2} (- 14 x) + 2 (4 x^{5} - 7 x^{2}) x)$

Étape 4.2

Appliquez la propriété distributive.

$6 (x^{2} (20 x^{4}) + x^{2} (- 14 x) + (2 (4 x^{5}) + 2 (- 7 x^{2})) x)$

Étape 4.3

Appliquez la propriété distributive.

$6 (x^{2} (20 x^{4}) + x^{2} (- 14 x) + 2 (4 x^{5}) x + 2 (- 7 x^{2}) x)$

Étape 4.4

Appliquez la propriété distributive.

$6 (x^{2} (20 x^{4})) + 6 (x^{2} (- 14 x)) + 6 (2 (4 x^{5}) x) + 6 (2 (- 7 x^{2}) x)$

Étape 4.5

Associez des termes.

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Étape 4.5.1

Multipliez $x^{2}$ par $x^{4}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.5.1.1

Déplacez $x^{4}$ .

$6 (x^{4} x^{2} \cdot 20) + 6 (x^{2} (- 14 x)) + 6 (2 (4 x^{5}) x) + 6 (2 (- 7 x^{2}) x)$

Étape 4.5.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$6 (x^{4 + 2} \cdot 20) + 6 (x^{2} (- 14 x)) + 6 (2 (4 x^{5}) x) + 6 (2 (- 7 x^{2}) x)$

Étape 4.5.1.3

Additionnez $4$ et $2$ .

$6 (x^{6} \cdot 20) + 6 (x^{2} (- 14 x)) + 6 (2 (4 x^{5}) x) + 6 (2 (- 7 x^{2}) x)$

Étape 4.5.2

Déplacez $20$ à gauche de $x^{6}$ .

$6 (20 \cdot x^{6}) + 6 (x^{2} (- 14 x)) + 6 (2 (4 x^{5}) x) + 6 (2 (- 7 x^{2}) x)$

Étape 4.5.3

Multipliez $20$ par $6$ .

$120 x^{6} + 6 (x^{2} (- 14 x)) + 6 (2 (4 x^{5}) x) + 6 (2 (- 7 x^{2}) x)$

Étape 4.5.4

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.5.4.1

Déplacez $x$ .

$120 x^{6} + 6 (x \cdot x^{2} \cdot - 14) + 6 (2 (4 x^{5}) x) + 6 (2 (- 7 x^{2}) x)$

Étape 4.5.4.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 4.5.4.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$120 x^{6} + 6 (x^{1} x^{2} \cdot - 14) + 6 (2 (4 x^{5}) x) + 6 (2 (- 7 x^{2}) x)$

Étape 4.5.4.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$120 x^{6} + 6 (x^{1 + 2} \cdot - 14) + 6 (2 (4 x^{5}) x) + 6 (2 (- 7 x^{2}) x)$

Étape 4.5.4.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$120 x^{6} + 6 (x^{3} \cdot - 14) + 6 (2 (4 x^{5}) x) + 6 (2 (- 7 x^{2}) x)$

Étape 4.5.5

Déplacez $- 14$ à gauche de $x^{3}$ .

$120 x^{6} + 6 (- 14 \cdot x^{3}) + 6 (2 (4 x^{5}) x) + 6 (2 (- 7 x^{2}) x)$

Étape 4.5.6

Multipliez $- 14$ par $6$ .

$120 x^{6} - 84 x^{3} + 6 (2 (4 x^{5}) x) + 6 (2 (- 7 x^{2}) x)$

Étape 4.5.7

Multipliez $4$ par $2$ .

$120 x^{6} - 84 x^{3} + 6 (8 x^{5} x) + 6 (2 (- 7 x^{2}) x)$

Étape 4.5.8

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$120 x^{6} - 84 x^{3} + 6 (8 (x^{1} x^{5})) + 6 (2 (- 7 x^{2}) x)$

Étape 4.5.9

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$120 x^{6} - 84 x^{3} + 6 (8 x^{1 + 5}) + 6 (2 (- 7 x^{2}) x)$

Étape 4.5.10

Additionnez $1$ et $5$ .

$120 x^{6} - 84 x^{3} + 6 (8 x^{6}) + 6 (2 (- 7 x^{2}) x)$

Étape 4.5.11

Multipliez $8$ par $6$ .

$120 x^{6} - 84 x^{3} + 48 x^{6} + 6 (2 (- 7 x^{2}) x)$

Étape 4.5.12

Multipliez $- 7$ par $2$ .

$120 x^{6} - 84 x^{3} + 48 x^{6} + 6 (- 14 x^{2} x)$

Étape 4.5.13

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$120 x^{6} - 84 x^{3} + 48 x^{6} + 6 (- 14 (x^{1} x^{2}))$

Étape 4.5.14

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$120 x^{6} - 84 x^{3} + 48 x^{6} + 6 (- 14 x^{1 + 2})$

Étape 4.5.15

Additionnez $1$ et $2$ .

$120 x^{6} - 84 x^{3} + 48 x^{6} + 6 (- 14 x^{3})$

Étape 4.5.16

Multipliez $- 14$ par $6$ .

$120 x^{6} - 84 x^{3} + 48 x^{6} - 84 x^{3}$

Étape 4.5.17

Additionnez $120 x^{6}$ et $48 x^{6}$ .

$168 x^{6} - 84 x^{3} - 84 x^{3}$

Étape 4.5.18

Soustrayez $84 x^{3}$ de $- 84 x^{3}$ .

$168 x^{6} - 168 x^{3}$