Calcul infinitésimal Exemples

$y = \sin (2 \sqrt{x})$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (2 x^{\frac{1}{2}})]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 2 x^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 2.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos (2 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$\cos (2 x^{\frac{1}{2}}) (2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\cos (2 x^{\frac{1}{2}}) (2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Étape 4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\cos (2 x^{\frac{1}{2}}) (2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

Étape 5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\cos (2 x^{\frac{1}{2}}) (2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

Étape 6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\cos (2 x^{\frac{1}{2}}) (2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

Étape 7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\cos (2 x^{\frac{1}{2}}) (2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))$

Étape 7.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\cos (2 x^{\frac{1}{2}}) (2 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))$

Étape 8

Placez le signe moins devant la fraction.

$\cos (2 x^{\frac{1}{2}}) (2 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))$

Étape 9

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\cos (2 x^{\frac{1}{2}}) (2 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Étape 10

Associez $2$ et $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\cos (2 x^{\frac{1}{2}}) \frac{2 x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Étape 11

Placez $x^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\cos (2 x^{\frac{1}{2}}) \frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 12

Annulez le facteur commun.

$\cos (2 x^{\frac{1}{2}}) \frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 13

Réécrivez l’expression.

$\cos (2 x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 14

Associez $\cos (2 x^{\frac{1}{2}})$ et $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\cos (2 x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}}$