Calcul infinitésimal Exemples

$y = \sin (2 x) \cos (2 x)$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \sin (2 x)$ et $g (x) = \cos (2 x)$ .

$\sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)] + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $2 x$ .

$\sin (2 x) (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Étape 2.2

La dérivée de $\cos (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $- \sin (u_{1})$ .

$\sin (2 x) (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $2 x$ .

$\sin (2 x) (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Étape 3

Élevez $\sin (2 x)$ à la puissance $1$ .

$- (\sin^{1} (2 x) \sin (2 x)) \frac{d}{d x} [2 x] + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Étape 4

Élevez $\sin (2 x)$ à la puissance $1$ .

$- (\sin^{1} (2 x) \sin^{1} (2 x)) \frac{d}{d x} [2 x] + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Étape 5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- {\sin (2 x)}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [2 x] + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Étape 6

Différenciez.

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Étape 6.1

Additionnez $1$ et $1$ .

$- \sin^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Étape 6.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin^{2} (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Étape 6.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 2 \sin^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [x] + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Étape 6.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 2 \sin^{2} (2 x) \cdot 1 + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Étape 6.5

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$- 2 \sin^{2} (2 x) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Étape 7

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 7.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $2 x$ .

$- 2 \sin^{2} (2 x) + \cos (2 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 7.2

La dérivée de $\sin (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\cos (u_{2})$ .

$- 2 \sin^{2} (2 x) + \cos (2 x) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 7.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $2 x$ .

$- 2 \sin^{2} (2 x) + \cos (2 x) (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 8

Élevez $\cos (2 x)$ à la puissance $1$ .

$- 2 \sin^{2} (2 x) + \cos^{1} (2 x) \cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 9

Élevez $\cos (2 x)$ à la puissance $1$ .

$- 2 \sin^{2} (2 x) + \cos^{1} (2 x) \cos^{1} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 10

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 2 \sin^{2} (2 x) + {\cos (2 x)}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 11

Additionnez $1$ et $1$ .

$- 2 \sin^{2} (2 x) + \cos^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 12

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \sin^{2} (2 x) + \cos^{2} (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 13

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 2 \sin^{2} (2 x) + \cos^{2} (2 x) (2 \cdot 1)$

Étape 14

Simplifiez l’expression.

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Étape 14.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$- 2 \sin^{2} (2 x) + \cos^{2} (2 x) \cdot 2$

Étape 14.2

Déplacez $2$ à gauche de $\cos^{2} (2 x)$ .

$- 2 \sin^{2} (2 x) + 2 \cos^{2} (2 x)$