Calcul infinitésimal Exemples

$y = \sin (\sqrt{2 x})$

Étape 1

Simplifiez en factorisant.

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Étape 1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2 x}$ comme ${(2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\sin ({(2 x)}^{\frac{1}{2}})]$

Étape 1.2

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [\sin ({(2 (x))}^{\frac{1}{2}})]$

Étape 1.3

Appliquez la règle de produit à $2 (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 2.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos (2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Comme $2^{\frac{1}{2}}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$\cos (2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) (2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\cos (2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) (2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Étape 4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\cos (2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) (2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

Étape 5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\cos (2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) (2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

Étape 6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\cos (2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) (2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

Étape 7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\cos (2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) (2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))$

Étape 7.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\cos (2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) (2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))$

Étape 8

Placez le signe moins devant la fraction.

$\cos (2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) (2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))$

Étape 9

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\cos (2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) (2^{\frac{1}{2}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Étape 10

Associez $2^{\frac{1}{2}}$ et $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\cos (2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) \frac{2^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Étape 11

Simplifiez l’expression.

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Étape 11.1

Placez $2^{\frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\cos (2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2 \cdot 2^{- \frac{1}{2}}}$

Étape 11.2

Placez $x^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\cos (2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{2 \cdot 2^{- \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 12

Multipliez $2$ par $2^{- \frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 12.1

Multipliez $2$ par $2^{- \frac{1}{2}}$ .

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Étape 12.1.1

Élevez $2$ à la puissance $1$ .

$\cos (2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{2^{1} \cdot 2^{- \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 12.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\cos (2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{2^{1 - \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 12.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\cos (2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{2^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 12.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\cos (2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{2^{\frac{2 - 1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 12.4

Soustrayez $1$ de $2$ .

$\cos (2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 13

Associez $\cos (2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})$ et $\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\cos (2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$