Calcul infinitésimal Exemples

$y = \sin (\frac{3}{x})$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = \frac{3}{x}$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{3}{x}$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{3}{x}]$

Étape 1.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [\frac{3}{x}]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{3}{x}$ .

$\cos (\frac{3}{x}) \frac{d}{d x} [\frac{3}{x}]$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{3}{x}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$\cos (\frac{3}{x}) (3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Étape 2.2

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$\cos (\frac{3}{x}) (3 \frac{d}{d x} [x^{- 1}])$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$\cos (\frac{3}{x}) (3 (- x^{- 2}))$

Étape 2.4

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\cos (\frac{3}{x}) (- 3 x^{- 2})$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\cos (\frac{3}{x}) (- 3 \frac{1}{x^{2}})$

Étape 3.2

Associez des termes.

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Étape 3.2.1

Associez $- 3$ et $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\cos (\frac{3}{x}) \frac{- 3}{x^{2}}$

Étape 3.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\cos (\frac{3}{x}) (- \frac{3}{x^{2}})$

Étape 3.2.3

Associez $\cos (\frac{3}{x})$ et $\frac{3}{x^{2}}$ .

$- \frac{\cos (\frac{3}{x}) \cdot 3}{x^{2}}$

Étape 3.2.4

Déplacez $3$ à gauche de $\cos (\frac{3}{x})$ .

$- \frac{3 \cos (\frac{3}{x})}{x^{2}}$