Calcul infinitésimal Exemples

$y = \sec (x) (x - \tan (x))$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \sec (x)$ et $g (x) = x - \tan (x)$ .

$\sec (x) \frac{d}{d x} [x - \tan (x)] + (x - \tan (x)) \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - \tan (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$ .

$\sec (x) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]) + (x - \tan (x)) \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\sec (x) (1 + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]) + (x - \tan (x)) \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Étape 2.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \tan (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$\sec (x) (1 - \frac{d}{d x} [\tan (x)]) + (x - \tan (x)) \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Étape 3

La dérivée de $\tan (x)$ par rapport à $x$ est $\sec^{2} (x)$ .

$\sec (x) (1 - \sec^{2} (x)) + (x - \tan (x)) \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Étape 4

La dérivée de $\sec (x)$ par rapport à $x$ est $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) (1 - \sec^{2} (x)) + (x - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x))$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\sec (x) \cdot 1 + \sec (x) (- \sec^{2} (x)) + (x - \tan (x)) \sec (x) \tan (x)$

Étape 5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\sec (x) \cdot 1 + \sec (x) (- \sec^{2} (x)) + (x \sec (x) - \tan (x) \sec (x)) \tan (x)$

Étape 5.3

Appliquez la propriété distributive.

$\sec (x) \cdot 1 + \sec (x) (- \sec^{2} (x)) + x \sec (x) \tan (x) - \tan (x) \sec (x) \tan (x)$

Étape 5.4

Associez des termes.

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Étape 5.4.1

Multipliez $\sec (x)$ par $1$ .

$\sec (x) + \sec (x) (- \sec^{2} (x)) + x \sec (x) \tan (x) - \tan (x) \sec (x) \tan (x)$

Étape 5.4.2

Élevez $\sec (x)$ à la puissance $1$ .

$\sec (x) - (\sec^{1} (x) \sec^{2} (x)) + x \sec (x) \tan (x) - \tan (x) \sec (x) \tan (x)$

Étape 5.4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sec (x) - {\sec (x)}^{1 + 2} + x \sec (x) \tan (x) - \tan (x) \sec (x) \tan (x)$

Étape 5.4.4

Additionnez $1$ et $2$ .

$\sec (x) - \sec^{3} (x) + x \sec (x) \tan (x) - \tan (x) \sec (x) \tan (x)$

Étape 5.4.5

Élevez $\tan (x)$ à la puissance $1$ .

$\sec (x) - \sec^{3} (x) + x \sec (x) \tan (x) - (\tan^{1} (x) \tan (x)) \sec (x)$

Étape 5.4.6

Élevez $\tan (x)$ à la puissance $1$ .

$\sec (x) - \sec^{3} (x) + x \sec (x) \tan (x) - (\tan^{1} (x) \tan^{1} (x)) \sec (x)$

Étape 5.4.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sec (x) - \sec^{3} (x) + x \sec (x) \tan (x) - {\tan (x)}^{1 + 1} \sec (x)$

Étape 5.4.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sec (x) - \sec^{3} (x) + x \sec (x) \tan (x) - \tan^{2} (x) \sec (x)$

Étape 5.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$x \sec (x) \tan (x) - \tan^{2} (x) \sec (x) + \sec (x) - \sec^{3} (x)$

Étape 5.6

Factorisez $\sec (x)$ à partir de $x \sec (x) \tan (x) - \tan^{2} (x) \sec (x) + \sec (x) - \sec^{3} (x)$ .

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Étape 5.6.1

Factorisez $\sec (x)$ à partir de $x \sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) (x \tan (x)) - \tan^{2} (x) \sec (x) + \sec (x) - \sec^{3} (x)$

Étape 5.6.2

Factorisez $\sec (x)$ à partir de $- \tan^{2} (x) \sec (x)$ .

$\sec (x) (x \tan (x)) + \sec (x) (- \tan^{2} (x)) + \sec (x) - \sec^{3} (x)$

Étape 5.6.3

Multipliez par $1$ .

$\sec (x) (x \tan (x)) + \sec (x) (- \tan^{2} (x)) + \sec (x) \cdot 1 - \sec^{3} (x)$

Étape 5.6.4

Factorisez $\sec (x)$ à partir de $- \sec^{3} (x)$ .

$\sec (x) (x \tan (x)) + \sec (x) (- \tan^{2} (x)) + \sec (x) \cdot 1 + \sec (x) (- \sec^{2} (x))$

Étape 5.6.5

Factorisez $\sec (x)$ à partir de $\sec (x) (x \tan (x)) + \sec (x) (- \tan^{2} (x))$ .

$\sec (x) (x \tan (x) - \tan^{2} (x)) + \sec (x) \cdot 1 + \sec (x) (- \sec^{2} (x))$

Étape 5.6.6

Factorisez $\sec (x)$ à partir de $\sec (x) (x \tan (x) - \tan^{2} (x)) + \sec (x) \cdot 1$ .

$\sec (x) (x \tan (x) - \tan^{2} (x) + 1) + \sec (x) (- \sec^{2} (x))$

Étape 5.6.7

Factorisez $\sec (x)$ à partir de $\sec (x) (x \tan (x) - \tan^{2} (x) + 1) + \sec (x) (- \sec^{2} (x))$ .

$\sec (x) (x \tan (x) - \tan^{2} (x) + 1 - \sec^{2} (x))$

Étape 5.7

Remettez dans l’ordre $1$ et $- \sec^{2} (x)$ .

$\sec (x) (x \tan (x) - \tan^{2} (x) - \sec^{2} (x) + 1)$

Étape 5.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- \sec^{2} (x)$ .

$\sec (x) (x \tan (x) - \tan^{2} (x) - (\sec^{2} (x)) + 1)$

Étape 5.9

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$\sec (x) (x \tan (x) - \tan^{2} (x) - \sec^{2} (x) - 1 \cdot - 1)$

Étape 5.10

Factorisez $- 1$ à partir de $- \sec^{2} (x) - 1 \cdot - 1$ .

$\sec (x) (x \tan (x) - \tan^{2} (x) - (\sec^{2} (x) - 1))$

Étape 5.11

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\sec (x) (x \tan (x) - \tan^{2} (x) - \tan^{2} (x))$

Étape 5.12

Soustrayez $\tan^{2} (x)$ de $- \tan^{2} (x)$ .

$\sec (x) (x \tan (x) - 2 \tan^{2} (x))$

Étape 5.13

Appliquez la propriété distributive.

$\sec (x) (x \tan (x)) + \sec (x) (- 2 \tan^{2} (x))$

Étape 5.14

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\sec (x) x \tan (x) - 2 \sec (x) \tan^{2} (x)$

Étape 5.15

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\sec (x) x \tan (x) - 2 \sec (x) \tan^{2} (x)$ .

$x \sec (x) \tan (x) - 2 \sec (x) \tan^{2} (x)$