Calcul infinitésimal Exemples

$y = \sec (\sin (x))$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sec (x)$ et $g (x) = \sin (x)$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d u} [\sec (u)] \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 1.2

La dérivée de $\sec (u)$ par rapport à $u$ est $\sec (u) \tan (u)$ .

$\sec (u) \tan (u) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\sin (x)$ .

$\sec (\sin (x)) \tan (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$\sec (\sin (x)) \tan (\sin (x)) \cos (x)$

Étape 3

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Étape 3.1

Réorganisez les facteurs de $\sec (\sin (x)) \tan (\sin (x)) \cos (x)$ .

$\cos (x) \sec (\sin (x)) \tan (\sin (x))$

Étape 3.2

Réécrivez $\sec (\sin (x))$ en termes de sinus et de cosinus.

$\cos (x) \frac{1}{\cos (\sin (x))} \tan (\sin (x))$

Étape 3.3

Associez $\cos (x)$ et $\frac{1}{\cos (\sin (x))}$ .

$\frac{\cos (x)}{\cos (\sin (x))} \tan (\sin (x))$

Étape 3.4

Réécrivez $\tan (\sin (x))$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\cos (x)}{\cos (\sin (x))} \cdot \frac{\sin (\sin (x))}{\cos (\sin (x))}$

Étape 3.5

Multipliez $\frac{\cos (x)}{\cos (\sin (x))} \cdot \frac{\sin (\sin (x))}{\cos (\sin (x))}$ .

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Étape 3.5.1

Multipliez $\frac{\cos (x)}{\cos (\sin (x))}$ par $\frac{\sin (\sin (x))}{\cos (\sin (x))}$ .

$\frac{\cos (x) \sin (\sin (x))}{\cos (\sin (x)) \cos (\sin (x))}$

Étape 3.5.2

Élevez $\cos (\sin (x))$ à la puissance $1$ .

$\frac{\cos (x) \sin (\sin (x))}{\cos^{1} (\sin (x)) \cos (\sin (x))}$

Étape 3.5.3

Élevez $\cos (\sin (x))$ à la puissance $1$ .

$\frac{\cos (x) \sin (\sin (x))}{\cos^{1} (\sin (x)) \cos^{1} (\sin (x))}$

Étape 3.5.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\cos (x) \sin (\sin (x))}{{\cos (\sin (x))}^{1 + 1}}$

Étape 3.5.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\cos (x) \sin (\sin (x))}{\cos^{2} (\sin (x))}$

Étape 3.6

Factorisez $\cos (\sin (x))$ à partir de $\cos^{2} (\sin (x))$ .

$\frac{\cos (x) \sin (\sin (x))}{\cos (\sin (x)) \cos (\sin (x))}$

Étape 3.7

Séparez les fractions.

$\frac{\sin (\sin (x))}{\cos (\sin (x))} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (\sin (x))}$

Étape 3.8

Réécrivez $\frac{\cos (x)}{\cos (\sin (x))}$ comme un produit.

$\frac{\sin (\sin (x))}{\cos (\sin (x))} (\cos (x) \frac{1}{\cos (\sin (x))})$

Étape 3.9

Écrivez $\cos (x)$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{\sin (\sin (x))}{\cos (\sin (x))} (\frac{\cos (x)}{1} \cdot \frac{1}{\cos (\sin (x))})$

Étape 3.10

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Étape 3.10.1

Divisez $\cos (x)$ par $1$ .

$\frac{\sin (\sin (x))}{\cos (\sin (x))} (\cos (x) \frac{1}{\cos (\sin (x))})$

Étape 3.10.2

Convertissez de $\frac{1}{\cos (\sin (x))}$ à $\sec (\sin (x))$ .

$\frac{\sin (\sin (x))}{\cos (\sin (x))} (\cos (x) \sec (\sin (x)))$

Étape 3.11

Convertissez de $\frac{\sin (\sin (x))}{\cos (\sin (x))}$ à $\tan (\sin (x))$ .

$\tan (\sin (x)) \cos (x) \sec (\sin (x))$