Calcul infinitésimal Exemples

$y = \log (\sqrt{x}) + \tan (x^{e})$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\log (\sqrt{x}) + \tan (x^{e})$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\log (\sqrt{x})] + \frac{d}{d x} [\tan (x^{e})]$ .

$\frac{d}{d x} [\log (\sqrt{x})] + \frac{d}{d x} [\tan (x^{e})]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\log (\sqrt{x})]$ .

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Étape 2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\log (x^{\frac{1}{2}})] + \frac{d}{d x} [\tan (x^{e})]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \log (x)$ et $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\log (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\tan (x^{e})]$

Étape 2.2.2

La dérivée de $\log (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{1}{u_{1} \ln (10)}$ .

$\frac{1}{u_{1} \ln (10)} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\tan (x^{e})]$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \ln (10)} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\tan (x^{e})]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \ln (10)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [\tan (x^{e})]$

Étape 2.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \ln (10)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\tan (x^{e})]$

Étape 2.5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \ln (10)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\tan (x^{e})]$

Étape 2.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \ln (10)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\tan (x^{e})]$

Étape 2.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \ln (10)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\tan (x^{e})]$

Étape 2.7.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \ln (10)} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [\tan (x^{e})]$

Étape 2.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \ln (10)} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [\tan (x^{e})]$

Étape 2.9

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \ln (10)} \cdot \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [\tan (x^{e})]$

Étape 2.10

Multipliez $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \ln (10)}$ par $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} \ln (10) \cdot 2} + \frac{d}{d x} [\tan (x^{e})]$

Étape 2.11

Déplacez $2$ à gauche de $x^{\frac{1}{2}} \ln (10)$ .

$\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2 \cdot (x^{\frac{1}{2}} \ln (10))} + \frac{d}{d x} [\tan (x^{e})]$

Étape 2.12

Placez $x^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} \ln (10) x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [\tan (x^{e})]$

Étape 2.13

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.13.1

Multipliez $x^{\frac{1}{2}}$ par $x^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.13.1.1

Déplacez $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) \ln (10)} + \frac{d}{d x} [\tan (x^{e})]$

Étape 2.13.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \ln (10)} + \frac{d}{d x} [\tan (x^{e})]$

Étape 2.13.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1 + 1}{2}} \ln (10)} + \frac{d}{d x} [\tan (x^{e})]$

Étape 2.13.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{2}{2}} \ln (10)} + \frac{d}{d x} [\tan (x^{e})]$

Étape 2.13.1.5

Divisez $2$ par $2$ .

$\frac{1}{2 x^{1} \ln (10)} + \frac{d}{d x} [\tan (x^{e})]$

Étape 2.13.2

Simplifiez $2 x^{1} \ln (10)$ .

$\frac{1}{2 x \ln (10)} + \frac{d}{d x} [\tan (x^{e})]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\tan (x^{e})]$ .

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \tan (x)$ et $g (x) = x^{e}$ .

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Étape 3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $x^{e}$ .

$\frac{1}{2 x \ln (10)} + \frac{d}{d u_{2}} [\tan (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{e}]$

Étape 3.1.2

La dérivée de $\tan (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\sec^{2} (u_{2})$ .

$\frac{1}{2 x \ln (10)} + \sec^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [x^{e}]$

Étape 3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $x^{e}$ .

$\frac{1}{2 x \ln (10)} + \sec^{2} (x^{e}) \frac{d}{d x} [x^{e}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = e$ .

$\frac{1}{2 x \ln (10)} + \sec^{2} (x^{e}) (e x^{e - 1})$

Étape 4

Remettez les termes dans l’ordre.

$e x^{e - 1} \sec^{2} (x^{e}) + \frac{1}{2 x \ln (10)}$