Calcul infinitésimal Exemples

$y = \ln (\csc (x))$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = \csc (x)$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\csc (x)$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\csc (x)]$

Étape 1.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\csc (x)]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\csc (x)$ .

$\frac{1}{\csc (x)} \frac{d}{d x} [\csc (x)]$

Étape 2

Réécrivez $\csc (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{1}{\frac{1}{\sin (x)}} \frac{d}{d x} [\csc (x)]$

Étape 3

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$1 \sin (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)]$

Étape 4

Multipliez $\sin (x)$ par $1$ .

$\sin (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)]$

Étape 5

La dérivée de $\csc (x)$ par rapport à $x$ est $- \csc (x) \cot (x)$ .

$\sin (x) (- \csc (x) \cot (x))$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Réorganisez les facteurs de $\sin (x) (- \csc (x) \cot (x))$ .

$- \cot (x) \csc (x) \sin (x)$

Étape 6.2

Réécrivez $\cot (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$- \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \csc (x) \sin (x)$

Étape 6.3

Réécrivez $\csc (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$- \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} \sin (x)$

Étape 6.4

Multipliez $- \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$ .

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Étape 6.4.1

Multipliez $\frac{1}{\sin (x)}$ par $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$- \frac{\cos (x)}{\sin (x) \sin (x)} \sin (x)$

Étape 6.4.2

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$- \frac{\cos (x)}{\sin^{1} (x) \sin (x)} \sin (x)$

Étape 6.4.3

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$- \frac{\cos (x)}{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)} \sin (x)$

Étape 6.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{1 + 1}} \sin (x)$

Étape 6.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$- \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)} \sin (x)$

Étape 6.5

Annulez le facteur commun de $\sin (x)$ .

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Étape 6.5.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)}$ dans le numérateur.

$\frac{- \cos (x)}{\sin^{2} (x)} \sin (x)$

Étape 6.5.2

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $\sin^{2} (x)$ .

$\frac{- \cos (x)}{\sin (x) \sin (x)} \sin (x)$

Étape 6.5.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{- \cos (x)}{\sin (x) \sin (x)} \sin (x)$

Étape 6.5.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{- \cos (x)}{\sin (x)}$

Étape 6.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Étape 6.7

Convertissez de $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ à $\cot (x)$ .

$- \cot (x)$