Calcul infinitésimal Exemples

$y = \ln (\cos (e^{x}))$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = \cos (e^{x})$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\cos (e^{x})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\cos (e^{x})]$

Étape 1.2

La dérivée de $\ln (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\cos (e^{x})]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\cos (e^{x})$ .

$\frac{1}{\cos (e^{x})} \frac{d}{d x} [\cos (e^{x})]$

Étape 2

Convertissez de $\frac{1}{\cos (e^{x})}$ à $\sec (e^{x})$ .

$\sec (e^{x}) \frac{d}{d x} [\cos (e^{x})]$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = e^{x}$ .

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Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $e^{x}$ .

$\sec (e^{x}) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Étape 3.2

La dérivée de $\cos (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $- \sin (u_{2})$ .

$\sec (e^{x}) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $e^{x}$ .

$\sec (e^{x}) (- \sin (e^{x}) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\sec (e^{x}) (- \sin (e^{x}) e^{x})$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Réorganisez les facteurs de $\sec (e^{x}) (- \sin (e^{x}) e^{x})$ .

$- e^{x} \sec (e^{x}) \sin (e^{x})$

Étape 5.2

Réécrivez $\sec (e^{x})$ en termes de sinus et de cosinus.

$- e^{x} \frac{1}{\cos (e^{x})} \sin (e^{x})$

Étape 5.3

Associez $\frac{1}{\cos (e^{x})}$ et $e^{x}$ .

$- \frac{e^{x}}{\cos (e^{x})} \sin (e^{x})$

Étape 5.4

Associez $\sin (e^{x})$ et $\frac{e^{x}}{\cos (e^{x})}$ .

$- \frac{\sin (e^{x}) e^{x}}{\cos (e^{x})}$

Étape 5.5

Séparez les fractions.

$- (\frac{e^{x}}{1} \cdot \frac{\sin (e^{x})}{\cos (e^{x})})$

Étape 5.6

Convertissez de $\frac{\sin (e^{x})}{\cos (e^{x})}$ à $\tan (e^{x})$ .

$- (\frac{e^{x}}{1} \tan (e^{x}))$

Étape 5.7

Divisez $e^{x}$ par $1$ .

$- e^{x} \tan (e^{x})$