Calcul infinitésimal Exemples

$y = \ln (\arctan (x))$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = \arctan (x)$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\arctan (x)$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

Étape 1.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\arctan (x)$ .

$\frac{1}{\arctan (x)} \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

Étape 2

La dérivée de $\arctan (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{1}{\arctan (x)} \cdot \frac{1}{1 + x^{2}}$

Étape 3

Multipliez $\frac{1}{\arctan (x)}$ par $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{1}{\arctan (x) (1 + x^{2})}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{\arctan (x) \cdot 1 + \arctan (x) x^{2}}$

Étape 4.2

Multipliez $\arctan (x)$ par $1$ .

$\frac{1}{\arctan (x) + \arctan (x) x^{2}}$

Étape 4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{x^{2} \arctan (x) + \arctan (x)}$

Étape 4.4

Factorisez $\arctan (x)$ à partir de $x^{2} \arctan (x) + \arctan (x)$ .

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Étape 4.4.1

Factorisez $\arctan (x)$ à partir de $x^{2} \arctan (x)$ .

$\frac{1}{\arctan (x) x^{2} + \arctan (x)}$

Étape 4.4.2

Multipliez par $1$ .

$\frac{1}{\arctan (x) x^{2} + \arctan (x) \cdot 1}$

Étape 4.4.3

Factorisez $\arctan (x)$ à partir de $\arctan (x) x^{2} + \arctan (x) \cdot 1$ .

$\frac{1}{\arctan (x) (x^{2} + 1)}$