Calcul infinitésimal Exemples

$y = \ln (\ln (x^{18}))$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = \ln (x^{18})$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\ln (x^{18})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\ln (x^{18})]$

Étape 1.2

La dérivée de $\ln (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\ln (x^{18})]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\ln (x^{18})$ .

$\frac{1}{\ln (x^{18})} \frac{d}{d x} [\ln (x^{18})]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = x^{18}$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $x^{18}$ .

$\frac{1}{\ln (x^{18})} (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{18}])$

Étape 2.2

La dérivée de $\ln (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\frac{1}{u_{2}}$ .

$\frac{1}{\ln (x^{18})} (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [x^{18}])$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $x^{18}$ .

$\frac{1}{\ln (x^{18})} (\frac{1}{x^{18}} \frac{d}{d x} [x^{18}])$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 3.1

Multipliez $\frac{1}{x^{18}}$ par $\frac{1}{\ln (x^{18})}$ .

$\frac{1}{x^{18} \ln (x^{18})} \frac{d}{d x} [x^{18}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 18$ .

$\frac{1}{x^{18} \ln (x^{18})} (18 x^{17})$

Étape 3.3

Simplifiez les termes.

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Étape 3.3.1

Associez $18$ et $\frac{1}{x^{18} \ln (x^{18})}$ .

$\frac{18}{x^{18} \ln (x^{18})} x^{17}$

Étape 3.3.2

Associez $\frac{18}{x^{18} \ln (x^{18})}$ et $x^{17}$ .

$\frac{18 x^{17}}{x^{18} \ln (x^{18})}$

Étape 3.3.3

Annulez le facteur commun à $x^{17}$ et $x^{18}$ .

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Étape 3.3.3.1

Factorisez $x^{17}$ à partir de $18 x^{17}$ .

$\frac{x^{17} \cdot 18}{x^{18} \ln (x^{18})}$

Étape 3.3.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.3.3.2.1

Factorisez $x^{17}$ à partir de $x^{18} \ln (x^{18})$ .

$\frac{x^{17} \cdot 18}{x^{17} (x \ln (x^{18}))}$

Étape 3.3.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{17} \cdot 18}{x^{17} (x \ln (x^{18}))}$

Étape 3.3.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{18}{x \ln (x^{18})}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Développez $\ln (x^{18})$ en déplaçant $18$ hors du logarithme.

$\frac{18}{x (18 \ln (x))}$

Étape 4.2

Annulez le facteur commun de $18$ .

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Étape 4.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{18}{x (18 \ln (x))}$

Étape 4.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{x (\ln (x))}$