Calcul infinitésimal Exemples

$y = \ln (\arctan (6 x + 3))$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = \arctan (6 x + 3)$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\arctan (6 x + 3)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\arctan (6 x + 3)]$

Étape 1.2

La dérivée de $\ln (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\arctan (6 x + 3)]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\arctan (6 x + 3)$ .

$\frac{1}{\arctan (6 x + 3)} \frac{d}{d x} [\arctan (6 x + 3)]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \arctan (x)$ et $g (x) = 6 x + 3$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $6 x + 3$ .

$\frac{1}{\arctan (6 x + 3)} (\frac{d}{d u_{2}} [\arctan (u_{2})] \frac{d}{d x} [6 x + 3])$

Étape 2.2

La dérivée de $\arctan (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\frac{1}{1 + {u_{2}}^{2}}$ .

$\frac{1}{\arctan (6 x + 3)} (\frac{1}{1 + {u_{2}}^{2}} \frac{d}{d x} [6 x + 3])$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $6 x + 3$ .

$\frac{1}{\arctan (6 x + 3)} (\frac{1}{1 + {(6 x + 3)}^{2}} \frac{d}{d x} [6 x + 3])$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Multipliez $\frac{1}{1 + {(6 x + 3)}^{2}}$ par $\frac{1}{\arctan (6 x + 3)}$ .

$\frac{1}{(1 + {(6 x + 3)}^{2}) \arctan (6 x + 3)} \frac{d}{d x} [6 x + 3]$

Étape 3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $6 x + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{1}{(1 + {(6 x + 3)}^{2}) \arctan (6 x + 3)} (\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [3])$

Étape 3.3

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{(1 + {(6 x + 3)}^{2}) \arctan (6 x + 3)} (6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{(1 + {(6 x + 3)}^{2}) \arctan (6 x + 3)} (6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3])$

Étape 3.5

Multipliez $6$ par $1$ .

$\frac{1}{(1 + {(6 x + 3)}^{2}) \arctan (6 x + 3)} (6 + \frac{d}{d x} [3])$

Étape 3.6

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{(1 + {(6 x + 3)}^{2}) \arctan (6 x + 3)} (6 + 0)$

Étape 3.7

Associez les fractions.

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Étape 3.7.1

Additionnez $6$ et $0$ .

$\frac{1}{(1 + {(6 x + 3)}^{2}) \arctan (6 x + 3)} \cdot 6$

Étape 3.7.2

Associez $\frac{1}{(1 + {(6 x + 3)}^{2}) \arctan (6 x + 3)}$ et $6$ .

$\frac{6}{(1 + {(6 x + 3)}^{2}) \arctan (6 x + 3)}$

Étape 3.7.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{6}{\arctan (6 x + 3) (1 + {(6 x + 3)}^{2})}$