Calcul infinitésimal Exemples

$y = \ln (\ln (9 x))$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = \ln (9 x)$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\ln (9 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\ln (9 x)]$

Étape 1.2

La dérivée de $\ln (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\ln (9 x)]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\ln (9 x)$ .

$\frac{1}{\ln (9 x)} \frac{d}{d x} [\ln (9 x)]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = 9 x$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $9 x$ .

$\frac{1}{\ln (9 x)} (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [9 x])$

Étape 2.2

La dérivée de $\ln (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\frac{1}{u_{2}}$ .

$\frac{1}{\ln (9 x)} (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [9 x])$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $9 x$ .

$\frac{1}{\ln (9 x)} (\frac{1}{9 x} \frac{d}{d x} [9 x])$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Multipliez $\frac{1}{9 x}$ par $\frac{1}{\ln (9 x)}$ .

$\frac{1}{9 x \ln (9 x)} \frac{d}{d x} [9 x]$

Étape 3.2

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9 x$ par rapport à $x$ est $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{9 x \ln (9 x)} (9 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.3

Simplifiez les termes.

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Étape 3.3.1

Associez $9$ et $\frac{1}{9 x \ln (9 x)}$ .

$\frac{9}{9 x \ln (9 x)} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.3.2

Annulez le facteur commun de $9$ .

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Étape 3.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{9}{9 x \ln (9 x)} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{x \ln (9 x)} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{x \ln (9 x)} \cdot 1$

Étape 3.5

Multipliez $\frac{1}{x \ln (9 x)}$ par $1$ .

$\frac{1}{x \ln (9 x)}$