Calcul infinitésimal Exemples

$y = \ln (3 x^{2} + 2)$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = 3 x^{2} + 2$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $3 x^{2} + 2$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 2]$

Étape 1.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 2]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 x^{2} + 2$ .

$\frac{1}{3 x^{2} + 2} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 2]$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{2} + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{1}{3 x^{2} + 2} (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2])$

Étape 2.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{3 x^{2} + 2} (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2])$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{3 x^{2} + 2} (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [2])$

Étape 2.4

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{1}{3 x^{2} + 2} (6 x + \frac{d}{d x} [2])$

Étape 2.5

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{3 x^{2} + 2} (6 x + 0)$

Étape 2.6

Associez les fractions.

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Étape 2.6.1

Additionnez $6 x$ et $0$ .

$\frac{1}{3 x^{2} + 2} (6 x)$

Étape 2.6.2

Associez $6$ et $\frac{1}{3 x^{2} + 2}$ .

$\frac{6}{3 x^{2} + 2} x$

Étape 2.6.3

Associez $\frac{6}{3 x^{2} + 2}$ et $x$ .

$\frac{6 x}{3 x^{2} + 2}$