Calcul infinitésimal Exemples

$y = \ln (- 42 x^{2} + 11 x)$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = - 42 x^{2} + 11 x$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- 42 x^{2} + 11 x$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [- 42 x^{2} + 11 x]$

Étape 1.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [- 42 x^{2} + 11 x]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- 42 x^{2} + 11 x$ .

$\frac{1}{- 42 x^{2} + 11 x} \frac{d}{d x} [- 42 x^{2} + 11 x]$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 42 x^{2} + 11 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 42 x^{2}] + \frac{d}{d x} [11 x]$ .

$\frac{1}{- 42 x^{2} + 11 x} (\frac{d}{d x} [- 42 x^{2}] + \frac{d}{d x} [11 x])$

Étape 2.2

Comme $- 42$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 42 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 42 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{- 42 x^{2} + 11 x} (- 42 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [11 x])$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{- 42 x^{2} + 11 x} (- 42 (2 x) + \frac{d}{d x} [11 x])$

Étape 2.4

Multipliez $2$ par $- 42$ .

$\frac{1}{- 42 x^{2} + 11 x} (- 84 x + \frac{d}{d x} [11 x])$

Étape 2.5

Comme $11$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $11 x$ par rapport à $x$ est $11 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{- 42 x^{2} + 11 x} (- 84 x + 11 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{- 42 x^{2} + 11 x} (- 84 x + 11 \cdot 1)$

Étape 2.7

Multipliez $11$ par $1$ .

$\frac{1}{- 42 x^{2} + 11 x} (- 84 x + 11)$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Réorganisez les facteurs de $\frac{1}{- 42 x^{2} + 11 x} (- 84 x + 11)$ .

$(- 84 x + 11) \frac{1}{- 42 x^{2} + 11 x}$

Étape 3.2

Factorisez $x$ à partir de $- 42 x^{2} + 11 x$ .

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Étape 3.2.1

Factorisez $x$ à partir de $- 42 x^{2}$ .

$(- 84 x + 11) \frac{1}{x (- 42 x) + 11 x}$

Étape 3.2.2

Factorisez $x$ à partir de $11 x$ .

$(- 84 x + 11) \frac{1}{x (- 42 x) + x \cdot 11}$

Étape 3.2.3

Factorisez $x$ à partir de $x (- 42 x) + x \cdot 11$ .

$(- 84 x + 11) \frac{1}{x (- 42 x + 11)}$

Étape 3.3

Multipliez $- 84 x + 11$ par $\frac{1}{x (- 42 x + 11)}$ .

$\frac{- 84 x + 11}{x (- 42 x + 11)}$

Étape 3.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- 84 x$ .

$\frac{- (84 x) + 11}{x (- 42 x + 11)}$

Étape 3.5

Réécrivez $11$ comme $- 1 (- 11)$ .

$\frac{- (84 x) - 1 (- 11)}{x (- 42 x + 11)}$

Étape 3.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- (84 x) - 1 (- 11)$ .

$\frac{- (84 x - 11)}{x (- 42 x + 11)}$

Étape 3.7

Réécrivez $- (84 x - 11)$ comme $- 1 (84 x - 11)$ .

$\frac{- 1 (84 x - 11)}{x (- 42 x + 11)}$

Étape 3.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- 42 x$ .

$\frac{- 1 (84 x - 11)}{x (- (42 x) + 11)}$

Étape 3.9

Réécrivez $11$ comme $- 1 (- 11)$ .

$\frac{- 1 (84 x - 11)}{x (- (42 x) - 1 (- 11))}$

Étape 3.10

Factorisez $- 1$ à partir de $- (42 x) - 1 (- 11)$ .

$\frac{- 1 (84 x - 11)}{x (- (42 x - 11))}$

Étape 3.11

Réécrivez $- (42 x - 11)$ comme $- 1 (42 x - 11)$ .

$\frac{- 1 (84 x - 11)}{x (- 1 (42 x - 11))}$

Étape 3.12

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 1 (84 x - 11)}{x (- 1 (42 x - 11))}$

Étape 3.13

Réécrivez l’expression.

$\frac{84 x - 11}{x (42 x - 11)}$