Calcul infinitésimal Exemples

$y = \ln (x^{4} - 4 x + 10)$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = x^{4} - 4 x + 10$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{4} - 4 x + 10$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{4} - 4 x + 10]$

Étape 1.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{4} - 4 x + 10]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{4} - 4 x + 10$ .

$\frac{1}{x^{4} - 4 x + 10} \frac{d}{d x} [x^{4} - 4 x + 10]$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{4} - 4 x + 10$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [10]$ .

$\frac{1}{x^{4} - 4 x + 10} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [10])$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$\frac{1}{x^{4} - 4 x + 10} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [10])$

Étape 2.3

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{x^{4} - 4 x + 10} (4 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [10])$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{x^{4} - 4 x + 10} (4 x^{3} - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [10])$

Étape 2.5

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$\frac{1}{x^{4} - 4 x + 10} (4 x^{3} - 4 + \frac{d}{d x} [10])$

Étape 2.6

Comme $10$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $10$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{x^{4} - 4 x + 10} (4 x^{3} - 4 + 0)$

Étape 2.7

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.7.1

Additionnez $4 x^{3} - 4$ et $0$ .

$\frac{1}{x^{4} - 4 x + 10} (4 x^{3} - 4)$

Étape 2.7.2

Réorganisez les facteurs de $\frac{1}{x^{4} - 4 x + 10} (4 x^{3} - 4)$ .

$(4 x^{3} - 4) \frac{1}{x^{4} - 4 x + 10}$