Calcul infinitésimal Exemples

$y = \ln (10 x^{2 - 5 x})$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = 10 x^{2 - 5 x}$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $10 x^{2 - 5 x}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [10 x^{2 - 5 x}]$

Étape 1.2

La dérivée de $\ln (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [10 x^{2 - 5 x}]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $10 x^{2 - 5 x}$ .

$\frac{1}{10 x^{2 - 5 x}} \frac{d}{d x} [10 x^{2 - 5 x}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 2.1

Comme $10$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $10 x^{2 - 5 x}$ par rapport à $x$ est $10 \frac{d}{d x} [x^{2 - 5 x}]$ .

$\frac{1}{10 x^{2 - 5 x}} (10 \frac{d}{d x} [x^{2 - 5 x}])$

Étape 2.2

Simplifiez les termes.

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Étape 2.2.1

Associez $10$ et $\frac{1}{10 x^{2 - 5 x}}$ .

$\frac{10}{10 x^{2 - 5 x}} \frac{d}{d x} [x^{2 - 5 x}]$

Étape 2.2.2

Annulez le facteur commun de $10$ .

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Étape 2.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{10}{10 x^{2 - 5 x}} \frac{d}{d x} [x^{2 - 5 x}]$

Étape 2.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{x^{2 - 5 x}} \frac{d}{d x} [x^{2 - 5 x}]$

Étape 3

Utilisez les propriétés des logarithmes pour simplifier la différenciation.

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Étape 3.1

Réécrivez $x^{2 - 5 x}$ comme $e^{\ln (x^{2 - 5 x})}$ .

$\frac{1}{x^{2 - 5 x}} \frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{2 - 5 x})}]$

Étape 3.2

Développez $\ln (x^{2 - 5 x})$ en déplaçant $2 - 5 x$ hors du logarithme.

$\frac{1}{x^{2 - 5 x}} \frac{d}{d x} [e^{(2 - 5 x) \ln (x)}]$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = (2 - 5 x) \ln (x)$ .

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Étape 4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $(2 - 5 x) \ln (x)$ .

$\frac{1}{x^{2 - 5 x}} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [(2 - 5 x) \ln (x)])$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ est $a^{u_{2}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{1}{x^{2 - 5 x}} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [(2 - 5 x) \ln (x)])$

Étape 4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $(2 - 5 x) \ln (x)$ .

$\frac{1}{x^{2 - 5 x}} (e^{(2 - 5 x) \ln (x)} \frac{d}{d x} [(2 - 5 x) \ln (x)])$

Étape 5

Associez $e^{(2 - 5 x) \ln (x)}$ et $\frac{1}{x^{2 - 5 x}}$ .

$\frac{e^{(2 - 5 x) \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}} \frac{d}{d x} [(2 - 5 x) \ln (x)]$

Étape 6

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = 2 - 5 x$ et $g (x) = \ln (x)$ .

$\frac{e^{(2 - 5 x) \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}} ((2 - 5 x) \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [2 - 5 x])$

Étape 7

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$\frac{e^{(2 - 5 x) \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}} ((2 - 5 x) \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [2 - 5 x])$

Étape 8

Différenciez.

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Étape 8.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 - 5 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$\frac{e^{(2 - 5 x) \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}} ((2 - 5 x) \frac{1}{x} + \ln (x) (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 5 x]))$

Étape 8.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{e^{(2 - 5 x) \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}} ((2 - 5 x) \frac{1}{x} + \ln (x) (0 + \frac{d}{d x} [- 5 x]))$

Étape 8.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$\frac{e^{(2 - 5 x) \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}} ((2 - 5 x) \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [- 5 x])$

Étape 8.4

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5 x$ par rapport à $x$ est $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{e^{(2 - 5 x) \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}} ((2 - 5 x) \frac{1}{x} + \ln (x) (- 5 \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 8.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{e^{(2 - 5 x) \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}} ((2 - 5 x) \frac{1}{x} + \ln (x) (- 5 \cdot 1))$

Étape 8.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 8.6.1

Multipliez $- 5$ par $1$ .

$\frac{e^{(2 - 5 x) \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}} ((2 - 5 x) \frac{1}{x} + \ln (x) \cdot - 5)$

Étape 8.6.2

Déplacez $- 5$ à gauche de $\ln (x)$ .

$\frac{e^{(2 - 5 x) \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}} ((2 - 5 x) \frac{1}{x} - 5 \cdot \ln (x))$

Étape 9

Simplifiez

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Étape 9.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}} ((2 - 5 x) \frac{1}{x} - 5 \ln (x))$

Étape 9.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}} (2 \frac{1}{x} - 5 x \frac{1}{x} - 5 \ln (x))$

Étape 9.3

Associez des termes.

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Étape 9.3.1

Associez $2$ et $\frac{1}{x}$ .

$\frac{e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}} (\frac{2}{x} - 5 x \frac{1}{x} - 5 \ln (x))$

Étape 9.3.2

Associez $- 5$ et $\frac{1}{x}$ .

$\frac{e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}} (\frac{2}{x} + x \frac{- 5}{x} - 5 \ln (x))$

Étape 9.3.3

Associez $x$ et $\frac{- 5}{x}$ .

$\frac{e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}} (\frac{2}{x} + \frac{x \cdot - 5}{x} - 5 \ln (x))$

Étape 9.3.4

Déplacez $- 5$ à gauche de $x$ .

$\frac{e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}} (\frac{2}{x} + \frac{- 5 \cdot x}{x} - 5 \ln (x))$

Étape 9.3.5

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 9.3.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}} (\frac{2}{x} + \frac{- 5 x}{x} - 5 \ln (x))$

Étape 9.3.5.2

Divisez $- 5$ par $1$ .

$\frac{e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}} (\frac{2}{x} - 5 - 5 \ln (x))$

Étape 9.4

Réorganisez les facteurs de $\frac{e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}} (\frac{2}{x} - 5 - 5 \ln (x))$ .

$(\frac{2}{x} - 5 - 5 \ln (x)) \frac{e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}}$

Étape 9.5

Multipliez $\frac{2}{x} - 5 - 5 \ln (x)$ par $\frac{e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}}$ .

$\frac{(\frac{2}{x} - 5 - 5 \ln (x)) e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}}$

Étape 9.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.6.1

Pour écrire $- 5$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{(\frac{2}{x} - 5 \cdot \frac{x}{x} - 5 \ln (x)) e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}}$

Étape 9.6.2

Associez $- 5$ et $\frac{x}{x}$ .

$\frac{(\frac{2}{x} + \frac{- 5 x}{x} - 5 \ln (x)) e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}}$

Étape 9.6.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(\frac{2 - 5 x}{x} - 5 \ln (x)) e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}}$

Étape 9.6.4

Pour écrire $- 5 \ln (x)$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{(\frac{2 - 5 x}{x} - 5 \ln (x) \cdot \frac{x}{x}) e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}}$

Étape 9.6.5

Associez $- 5 \ln (x)$ et $\frac{x}{x}$ .

$\frac{(\frac{2 - 5 x}{x} + \frac{- 5 \ln (x) x}{x}) e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}}$

Étape 9.6.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{2 - 5 x - 5 \ln (x) x}{x} e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}}$

Étape 9.7

Associez $\frac{2 - 5 x - 5 \ln (x) x}{x}$ et $e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)}$ .

$\frac{\frac{(2 - 5 x - 5 \ln (x) x) e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)}}{x}}{x^{2 - 5 x}}$

Étape 9.8

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{(2 - 5 x - 5 \ln (x) x) e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)}}{x} \cdot \frac{1}{x^{2 - 5 x}}$

Étape 9.9

Associez.

$\frac{(2 - 5 x - 5 \ln (x) x) e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)} \cdot 1}{x \cdot x^{2 - 5 x}}$

Étape 9.10

Multipliez $x$ par $x^{2 - 5 x}$ en additionnant les exposants.

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Étape 9.10.1

Multipliez $x$ par $x^{2 - 5 x}$ .

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Étape 9.10.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{(2 - 5 x - 5 \ln (x) x) e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)} \cdot 1}{x^{1} x^{2 - 5 x}}$

Étape 9.10.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{(2 - 5 x - 5 \ln (x) x) e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)} \cdot 1}{x^{1 + 2 - 5 x}}$

Étape 9.10.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{(2 - 5 x - 5 \ln (x) x) e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)} \cdot 1}{x^{3 - 5 x}}$

Étape 9.11

Multipliez $(2 - 5 x - 5 \ln (x) x) e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)}$ par $1$ .

$\frac{(2 - 5 x - 5 \ln (x) x) e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)}}{x^{3 - 5 x}}$

Étape 9.12

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{(2 - 5 x - 5 \ln (x) x) e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)}}{x^{3 - 5 x}}$ .

$\frac{e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)} (2 - 5 x - 5 x \ln (x))}{x^{3 - 5 x}}$