Calcul infinitésimal Exemples

$y = \ln (| \cos (\ln (x)) |)$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = | \cos (\ln (x)) |$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $| \cos (\ln (x)) |$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [| \cos (\ln (x)) |]$

Étape 1.2

La dérivée de $\ln (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [| \cos (\ln (x)) |]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $| \cos (\ln (x)) |$ .

$\frac{1}{| \cos (\ln (x)) |} \frac{d}{d x} [| \cos (\ln (x)) |]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = | x |$ et $g (x) = \cos (\ln (x))$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $\cos (\ln (x))$ .

$\frac{1}{| \cos (\ln (x)) |} (\frac{d}{d u_{2}} [| u_{2} |] \frac{d}{d x} [\cos (\ln (x))])$

Étape 2.2

La dérivée de $| u_{2} |$ par rapport à $u_{2}$ est $\frac{u_{2}}{| u_{2} |}$ .

$\frac{1}{| \cos (\ln (x)) |} (\frac{u_{2}}{| u_{2} |} \frac{d}{d x} [\cos (\ln (x))])$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $\cos (\ln (x))$ .

$\frac{1}{| \cos (\ln (x)) |} (\frac{\cos (\ln (x))}{| \cos (\ln (x)) |} \frac{d}{d x} [\cos (\ln (x))])$

Étape 3

Multipliez $\frac{\cos (\ln (x))}{| \cos (\ln (x)) |}$ par $\frac{1}{| \cos (\ln (x)) |}$ .

$\frac{\cos (\ln (x))}{| \cos (\ln (x)) | | \cos (\ln (x)) |} \frac{d}{d x} [\cos (\ln (x))]$

Étape 4

Pour multiplier des valeurs absolues, multipliez les termes à l’intérieur de chaque valeur absolue.

$\frac{\cos (\ln (x))}{| \cos (\ln (x)) \cos (\ln (x)) |} \frac{d}{d x} [\cos (\ln (x))]$

Étape 5

Élevez $\cos (\ln (x))$ à la puissance $1$ .

$\frac{\cos (\ln (x))}{| \cos^{1} (\ln (x)) \cos (\ln (x)) |} \frac{d}{d x} [\cos (\ln (x))]$

Étape 6

Élevez $\cos (\ln (x))$ à la puissance $1$ .

$\frac{\cos (\ln (x))}{| \cos^{1} (\ln (x)) \cos^{1} (\ln (x)) |} \frac{d}{d x} [\cos (\ln (x))]$

Étape 7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\cos (\ln (x))}{| {\cos (\ln (x))}^{1 + 1} |} \frac{d}{d x} [\cos (\ln (x))]$

Étape 8

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\cos (\ln (x))}{| \cos^{2} (\ln (x)) |} \frac{d}{d x} [\cos (\ln (x))]$

Étape 9

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = \ln (x)$ .

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Étape 9.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{3}$ comme $\ln (x)$ .

$\frac{\cos (\ln (x))}{| \cos^{2} (\ln (x)) |} (\frac{d}{d u_{3}} [\cos (u_{3})] \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Étape 9.2

La dérivée de $\cos (u_{3})$ par rapport à $u_{3}$ est $- \sin (u_{3})$ .

$\frac{\cos (\ln (x))}{| \cos^{2} (\ln (x)) |} (- \sin (u_{3}) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Étape 9.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{3}$ par $\ln (x)$ .

$\frac{\cos (\ln (x))}{| \cos^{2} (\ln (x)) |} (- \sin (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Étape 10

Associez $\frac{\cos (\ln (x))}{| \cos^{2} (\ln (x)) |}$ et $\sin (\ln (x))$ .

$- \frac{\cos (\ln (x)) \sin (\ln (x))}{| \cos^{2} (\ln (x)) |} \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Étape 11

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$- \frac{\cos (\ln (x)) \sin (\ln (x))}{| \cos^{2} (\ln (x)) |} \cdot \frac{1}{x}$

Étape 12

Multipliez $\frac{1}{x}$ par $\frac{\cos (\ln (x)) \sin (\ln (x))}{| \cos^{2} (\ln (x)) |}$ .

$- \frac{\cos (\ln (x)) \sin (\ln (x))}{x | \cos^{2} (\ln (x)) |}$

Étape 13

Simplifiez

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Étape 13.1

Retirez les termes non négatifs de la valeur absolue.

$- \frac{\cos (\ln (x)) \sin (\ln (x))}{x \cos^{2} (\ln (x))}$

Étape 13.2

Annulez le facteur commun à $\cos (\ln (x))$ et $\cos^{2} (\ln (x))$ .

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Étape 13.2.1

Factorisez $\cos (\ln (x))$ à partir de $\cos (\ln (x)) \sin (\ln (x))$ .

$- \frac{\cos (\ln (x)) (\sin (\ln (x)))}{x \cos^{2} (\ln (x))}$

Étape 13.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 13.2.2.1

Factorisez $\cos (\ln (x))$ à partir de $x \cos^{2} (\ln (x))$ .

$- \frac{\cos (\ln (x)) (\sin (\ln (x)))}{\cos (\ln (x)) (x \cos (\ln (x)))}$

Étape 13.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{\cos (\ln (x)) \sin (\ln (x))}{\cos (\ln (x)) (x \cos (\ln (x)))}$

Étape 13.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{\sin (\ln (x))}{x \cos (\ln (x))}$

Étape 13.3

Séparez les fractions.

$- (\frac{1}{x} \cdot \frac{\sin (\ln (x))}{\cos (\ln (x))})$

Étape 13.4

Convertissez de $\frac{\sin (\ln (x))}{\cos (\ln (x))}$ à $\tan (\ln (x))$ .

$- (\frac{1}{x} \tan (\ln (x)))$

Étape 13.5

Associez $\frac{1}{x}$ et $\tan (\ln (x))$ .

$- \frac{\tan (\ln (x))}{x}$