Calcul infinitésimal Exemples

$y = \cot (3 x^{2} + 5)$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cot (x)$ et $g (x) = 3 x^{2} + 5$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $3 x^{2} + 5$ .

$\frac{d}{d u} [\cot (u)] \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 5]$

Étape 1.2

La dérivée de $\cot (u)$ par rapport à $u$ est $- \csc^{2} (u)$ .

$- \csc^{2} (u) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 5]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 x^{2} + 5$ .

$- \csc^{2} (3 x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 5]$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{2} + 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$- \csc^{2} (3 x^{2} + 5) (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5])$

Étape 2.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \csc^{2} (3 x^{2} + 5) (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5])$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- \csc^{2} (3 x^{2} + 5) (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [5])$

Étape 2.4

Multipliez $2$ par $3$ .

$- \csc^{2} (3 x^{2} + 5) (6 x + \frac{d}{d x} [5])$

Étape 2.5

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- \csc^{2} (3 x^{2} + 5) (6 x + 0)$

Étape 2.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.6.1

Additionnez $6 x$ et $0$ .

$- \csc^{2} (3 x^{2} + 5) (6 x)$

Étape 2.6.2

Multipliez $6$ par $- 1$ .

$- 6 \csc^{2} (3 x^{2} + 5) x$

Étape 2.6.3

Réorganisez les facteurs de $- 6 \csc^{2} (3 x^{2} + 5) x$ .

$- 6 x \csc^{2} (3 x^{2} + 5)$