Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{6 x}{5 - \tan (x)}$

Étape 1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{6 x}{5 - \tan (x)}$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [\frac{x}{5 - \tan (x)}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [\frac{x}{5 - \tan (x)}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x$ et $g (x) = 5 - \tan (x)$ .

$6 \frac{(5 - \tan (x)) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [5 - \tan (x)]}{{(5 - \tan (x))}^{2}}$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$6 \frac{(5 - \tan (x)) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [5 - \tan (x)]}{{(5 - \tan (x))}^{2}}$

Étape 3.2

Multipliez $5 - \tan (x)$ par $1$ .

$6 \frac{5 - \tan (x) - x \frac{d}{d x} [5 - \tan (x)]}{{(5 - \tan (x))}^{2}}$

Étape 3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 - \tan (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$ .

$6 \frac{5 - \tan (x) - x (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)])}{{(5 - \tan (x))}^{2}}$

Étape 3.4

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$6 \frac{5 - \tan (x) - x (0 + \frac{d}{d x} [- \tan (x)])}{{(5 - \tan (x))}^{2}}$

Étape 3.5

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- \tan (x)]$ .

$6 \frac{5 - \tan (x) - x \frac{d}{d x} [- \tan (x)]}{{(5 - \tan (x))}^{2}}$

Étape 3.6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \tan (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$6 \frac{5 - \tan (x) - x (- \frac{d}{d x} [\tan (x)])}{{(5 - \tan (x))}^{2}}$

Étape 3.7

Multipliez.

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Étape 3.7.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$6 \frac{5 - \tan (x) + 1 x \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{{(5 - \tan (x))}^{2}}$

Étape 3.7.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$6 \frac{5 - \tan (x) + x \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{{(5 - \tan (x))}^{2}}$

Étape 4

La dérivée de $\tan (x)$ par rapport à $x$ est $\sec^{2} (x)$ .

$6 \frac{5 - \tan (x) + x \sec^{2} (x)}{{(5 - \tan (x))}^{2}}$

Étape 5

Associez $6$ et $\frac{5 - \tan (x) + x \sec^{2} (x)}{{(5 - \tan (x))}^{2}}$ .

$\frac{6 (5 - \tan (x) + x \sec^{2} (x))}{{(5 - \tan (x))}^{2}}$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{6 \cdot 5 + 6 (- \tan (x)) + 6 (x \sec^{2} (x))}{{(5 - \tan (x))}^{2}}$

Étape 6.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1

Multipliez $6$ par $5$ .

$\frac{30 + 6 (- \tan (x)) + 6 (x \sec^{2} (x))}{{(5 - \tan (x))}^{2}}$

Étape 6.2.2

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$\frac{30 - 6 \tan (x) + 6 x \sec^{2} (x)}{{(5 - \tan (x))}^{2}}$

Étape 6.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{6 x \sec^{2} (x) + 30 - 6 \tan (x)}{{(5 - \tan (x))}^{2}}$

Étape 6.4

Factorisez $6$ à partir de $6 x \sec^{2} (x) + 30 - 6 \tan (x)$ .

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Étape 6.4.1

Factorisez $6$ à partir de $6 x \sec^{2} (x)$ .

$\frac{6 (x \sec^{2} (x)) + 30 - 6 \tan (x)}{{(5 - \tan (x))}^{2}}$

Étape 6.4.2

Factorisez $6$ à partir de $30$ .

$\frac{6 (x \sec^{2} (x)) + 6 (5) - 6 \tan (x)}{{(5 - \tan (x))}^{2}}$

Étape 6.4.3

Factorisez $6$ à partir de $- 6 \tan (x)$ .

$\frac{6 (x \sec^{2} (x)) + 6 (5) + 6 (- \tan (x))}{{(5 - \tan (x))}^{2}}$

Étape 6.4.4

Factorisez $6$ à partir de $6 (x \sec^{2} (x)) + 6 (5)$ .

$\frac{6 (x \sec^{2} (x) + 5) + 6 (- \tan (x))}{{(5 - \tan (x))}^{2}}$

Étape 6.4.5

Factorisez $6$ à partir de $6 (x \sec^{2} (x) + 5) + 6 (- \tan (x))$ .

$\frac{6 (x \sec^{2} (x) + 5 - \tan (x))}{{(5 - \tan (x))}^{2}}$