Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{9 x^{2} - 1}{3 x - 1}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = 9 x^{2} - 1$ et $g (x) = 3 x - 1$ .

$\frac{(3 x - 1) \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 1] - (9 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [3 x - 1]}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $9 x^{2} - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{(3 x - 1) (\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (9 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [3 x - 1]}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Étape 2.2

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9 x^{2}$ par rapport à $x$ est $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(3 x - 1) (9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (9 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [3 x - 1]}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{(3 x - 1) (9 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 1]) - (9 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [3 x - 1]}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Étape 2.4

Multipliez $2$ par $9$ .

$\frac{(3 x - 1) (18 x + \frac{d}{d x} [- 1]) - (9 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [3 x - 1]}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Étape 2.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(3 x - 1) (18 x + 0) - (9 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [3 x - 1]}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Étape 2.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.6.1

Additionnez $18 x$ et $0$ .

$\frac{(3 x - 1) (18 x) - (9 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [3 x - 1]}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Étape 2.6.2

Déplacez $18$ à gauche de $3 x - 1$ .

$\frac{18 \cdot (3 x - 1) x - (9 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [3 x - 1]}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Étape 2.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{18 (3 x - 1) x - (9 x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Étape 2.8

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{18 (3 x - 1) x - (9 x^{2} - 1) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Étape 2.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{18 (3 x - 1) x - (9 x^{2} - 1) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Étape 2.10

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{18 (3 x - 1) x - (9 x^{2} - 1) (3 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Étape 2.11

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{18 (3 x - 1) x - (9 x^{2} - 1) (3 + 0)}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Étape 2.12

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.12.1

Additionnez $3$ et $0$ .

$\frac{18 (3 x - 1) x - (9 x^{2} - 1) \cdot 3}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Étape 2.12.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{18 (3 x - 1) x - 3 (9 x^{2} - 1)}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(18 (3 x) + 18 \cdot - 1) x - 3 (9 x^{2} - 1)}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{18 (3 x) x + 18 \cdot - 1 x - 3 (9 x^{2} - 1)}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Étape 3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{18 (3 x) x + 18 \cdot - 1 x - 3 (9 x^{2}) - 3 \cdot - 1}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Étape 3.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.4.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.4.1.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{18 (3 (x \cdot x)) + 18 \cdot - 1 x - 3 (9 x^{2}) - 3 \cdot - 1}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Étape 3.4.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{18 (3 x^{2}) + 18 \cdot - 1 x - 3 (9 x^{2}) - 3 \cdot - 1}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Étape 3.4.1.2

Multipliez $3$ par $18$ .

$\frac{54 x^{2} + 18 \cdot - 1 x - 3 (9 x^{2}) - 3 \cdot - 1}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Étape 3.4.1.3

Multipliez $18$ par $- 1$ .

$\frac{54 x^{2} - 18 x - 3 (9 x^{2}) - 3 \cdot - 1}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Étape 3.4.1.4

Multipliez $9$ par $- 3$ .

$\frac{54 x^{2} - 18 x - 27 x^{2} - 3 \cdot - 1}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Étape 3.4.1.5

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

$\frac{54 x^{2} - 18 x - 27 x^{2} + 3}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Étape 3.4.2

Soustrayez $27 x^{2}$ de $54 x^{2}$ .

$\frac{27 x^{2} - 18 x + 3}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Étape 3.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.5.1

Factorisez $3$ à partir de $27 x^{2} - 18 x + 3$ .

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Étape 3.5.1.1

Factorisez $3$ à partir de $27 x^{2}$ .

$\frac{3 (9 x^{2}) - 18 x + 3}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Étape 3.5.1.2

Factorisez $3$ à partir de $- 18 x$ .

$\frac{3 (9 x^{2}) + 3 (- 6 x) + 3}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Étape 3.5.1.3

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{3 (9 x^{2}) + 3 (- 6 x) + 3 (1)}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Étape 3.5.1.4

Factorisez $3$ à partir de $3 (9 x^{2}) + 3 (- 6 x)$ .

$\frac{3 (9 x^{2} - 6 x) + 3 (1)}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Étape 3.5.1.5

Factorisez $3$ à partir de $3 (9 x^{2} - 6 x) + 3 (1)$ .

$\frac{3 (9 x^{2} - 6 x + 1)}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Étape 3.5.2

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 3.5.2.1

Réécrivez $9 x^{2}$ comme ${(3 x)}^{2}$ .

$\frac{3 ({(3 x)}^{2} - 6 x + 1)}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Étape 3.5.2.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{3 ({(3 x)}^{2} - 6 x + 1^{2})}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Étape 3.5.2.3

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$6 x = 2 \cdot (3 x) \cdot 1$

Étape 3.5.2.4

Réécrivez le polynôme.

$\frac{3 ({(3 x)}^{2} - 2 \cdot (3 x) \cdot 1 + 1^{2})}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Étape 3.5.2.5

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = 3 x$ et $b = 1$ .

$\frac{3 {(3 x - 1)}^{2}}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Étape 3.6

Annulez le facteur commun de ${(3 x - 1)}^{2}$ .

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Étape 3.6.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 {(3 x - 1)}^{2}}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Étape 3.6.2

Divisez $3$ par $1$ .

$3$