Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{- 9 e^{5 x}}{4 x + 3}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{d}{d x} [- \frac{9 e^{5 x}}{4 x + 3}]$

Étape 1.2

Comme $- 9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{9 e^{5 x}}{4 x + 3}$ par rapport à $x$ est $- 9 \frac{d}{d x} [\frac{e^{5 x}}{4 x + 3}]$ .

$- 9 \frac{d}{d x} [\frac{e^{5 x}}{4 x + 3}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = e^{5 x}$ et $g (x) = 4 x + 3$ .

$- 9 \frac{(4 x + 3) \frac{d}{d x} [e^{5 x}] - e^{5 x} \frac{d}{d x} [4 x + 3]}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 5 x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $5 x$ .

$- 9 \frac{(4 x + 3) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [5 x]) - e^{5 x} \frac{d}{d x} [4 x + 3]}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$- 9 \frac{(4 x + 3) (e^{u} \frac{d}{d x} [5 x]) - e^{5 x} \frac{d}{d x} [4 x + 3]}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $5 x$ .

$- 9 \frac{(4 x + 3) (e^{5 x} \frac{d}{d x} [5 x]) - e^{5 x} \frac{d}{d x} [4 x + 3]}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Étape 4

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 9 \frac{(4 x + 3) e^{5 x} (5 \frac{d}{d x} [x]) - e^{5 x} \frac{d}{d x} [4 x + 3]}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 9 \frac{(4 x + 3) e^{5 x} (5 \cdot 1) - e^{5 x} \frac{d}{d x} [4 x + 3]}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Étape 4.3

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1

Multipliez $5$ par $1$ .

$- 9 \frac{(4 x + 3) e^{5 x} \cdot 5 - e^{5 x} \frac{d}{d x} [4 x + 3]}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Étape 4.3.2

Déplacez $5$ à gauche de $(4 x + 3) e^{5 x}$ .

$- 9 \frac{5 \cdot ((4 x + 3) e^{5 x}) - e^{5 x} \frac{d}{d x} [4 x + 3]}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Étape 4.4

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$- 9 \frac{5 (4 x + 3) e^{5 x} - e^{5 x} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3])}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Étape 4.5

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 9 \frac{5 (4 x + 3) e^{5 x} - e^{5 x} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Étape 4.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 9 \frac{5 (4 x + 3) e^{5 x} - e^{5 x} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3])}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Étape 4.7

Multipliez $4$ par $1$ .

$- 9 \frac{5 (4 x + 3) e^{5 x} - e^{5 x} (4 + \frac{d}{d x} [3])}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Étape 4.8

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 9 \frac{5 (4 x + 3) e^{5 x} - e^{5 x} (4 + 0)}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Étape 4.9

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.9.1

Additionnez $4$ et $0$ .

$- 9 \frac{5 (4 x + 3) e^{5 x} - e^{5 x} \cdot 4}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Étape 4.9.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$- 9 \frac{5 (4 x + 3) e^{5 x} - 4 e^{5 x}}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Étape 4.9.3

Associez $- 9$ et $\frac{5 (4 x + 3) e^{5 x} - 4 e^{5 x}}{{(4 x + 3)}^{2}}$ .

$\frac{- 9 (5 (4 x + 3) e^{5 x} - 4 e^{5 x})}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Étape 4.9.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{9 (5 (4 x + 3) e^{5 x} - 4 e^{5 x})}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Étape 5

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{9 ((5 (4 x) + 5 \cdot 3) e^{5 x} - 4 e^{5 x})}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Étape 5.2

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{9 (5 (4 x) e^{5 x} + 5 \cdot 3 e^{5 x} - 4 e^{5 x})}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Étape 5.3

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{9 (5 (4 x) e^{5 x}) + 9 (5 \cdot 3 e^{5 x}) + 9 (- 4 e^{5 x})}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Étape 5.4

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.1.1

Multipliez $4$ par $5$ .

$- \frac{9 (20 x e^{5 x}) + 9 (5 \cdot 3 e^{5 x}) + 9 (- 4 e^{5 x})}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Étape 5.4.1.2

Multipliez $20$ par $9$ .

$- \frac{180 (x e^{5 x}) + 9 (5 \cdot 3 e^{5 x}) + 9 (- 4 e^{5 x})}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Étape 5.4.1.3

Multipliez $5$ par $3$ .

$- \frac{180 x e^{5 x} + 9 (15 e^{5 x}) + 9 (- 4 e^{5 x})}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Étape 5.4.1.4

Multipliez $15$ par $9$ .

$- \frac{180 x e^{5 x} + 135 e^{5 x} + 9 (- 4 e^{5 x})}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Étape 5.4.1.5

Multipliez $- 4$ par $9$ .

$- \frac{180 x e^{5 x} + 135 e^{5 x} - 36 e^{5 x}}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Étape 5.4.2

Soustrayez $36 e^{5 x}$ de $135 e^{5 x}$ .

$- \frac{180 x e^{5 x} + 99 e^{5 x}}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Étape 5.5

Factorisez $9 e^{5 x}$ à partir de $180 x e^{5 x} + 99 e^{5 x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.1

Factorisez $9 e^{5 x}$ à partir de $180 x e^{5 x}$ .

$- \frac{9 e^{5 x} (20 x) + 99 e^{5 x}}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Étape 5.5.2

Factorisez $9 e^{5 x}$ à partir de $99 e^{5 x}$ .

$- \frac{9 e^{5 x} (20 x) + 9 e^{5 x} (11)}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Étape 5.5.3

Factorisez $9 e^{5 x}$ à partir de $9 e^{5 x} (20 x) + 9 e^{5 x} (11)$ .

$- \frac{9 e^{5 x} (20 x + 11)}{{(4 x + 3)}^{2}}$