Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{- 9 e^{3 x}}{7 x + 3}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 1.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{d}{d x} [- \frac{9 e^{3 x}}{7 x + 3}]$

Étape 1.2

Comme $- 9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{9 e^{3 x}}{7 x + 3}$ par rapport à $x$ est $- 9 \frac{d}{d x} [\frac{e^{3 x}}{7 x + 3}]$ .

$- 9 \frac{d}{d x} [\frac{e^{3 x}}{7 x + 3}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = e^{3 x}$ et $g (x) = 7 x + 3$ .

$- 9 \frac{(7 x + 3) \frac{d}{d x} [e^{3 x}] - e^{3 x} \frac{d}{d x} [7 x + 3]}{{(7 x + 3)}^{2}}$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 3 x$ .

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Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $3 x$ .

$- 9 \frac{(7 x + 3) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x]) - e^{3 x} \frac{d}{d x} [7 x + 3]}{{(7 x + 3)}^{2}}$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$- 9 \frac{(7 x + 3) (e^{u} \frac{d}{d x} [3 x]) - e^{3 x} \frac{d}{d x} [7 x + 3]}{{(7 x + 3)}^{2}}$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 x$ .

$- 9 \frac{(7 x + 3) (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]) - e^{3 x} \frac{d}{d x} [7 x + 3]}{{(7 x + 3)}^{2}}$

Étape 4

Différenciez.

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Étape 4.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 9 \frac{(7 x + 3) e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x]) - e^{3 x} \frac{d}{d x} [7 x + 3]}{{(7 x + 3)}^{2}}$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 9 \frac{(7 x + 3) e^{3 x} (3 \cdot 1) - e^{3 x} \frac{d}{d x} [7 x + 3]}{{(7 x + 3)}^{2}}$

Étape 4.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.3.1

Multipliez $3$ par $1$ .

$- 9 \frac{(7 x + 3) e^{3 x} \cdot 3 - e^{3 x} \frac{d}{d x} [7 x + 3]}{{(7 x + 3)}^{2}}$

Étape 4.3.2

Déplacez $3$ à gauche de $(7 x + 3) e^{3 x}$ .

$- 9 \frac{3 \cdot ((7 x + 3) e^{3 x}) - e^{3 x} \frac{d}{d x} [7 x + 3]}{{(7 x + 3)}^{2}}$

Étape 4.4

Selon la règle de la somme, la dérivée de $7 x + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$- 9 \frac{3 (7 x + 3) e^{3 x} - e^{3 x} (\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [3])}{{(7 x + 3)}^{2}}$

Étape 4.5

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7 x$ par rapport à $x$ est $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 9 \frac{3 (7 x + 3) e^{3 x} - e^{3 x} (7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])}{{(7 x + 3)}^{2}}$

Étape 4.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 9 \frac{3 (7 x + 3) e^{3 x} - e^{3 x} (7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3])}{{(7 x + 3)}^{2}}$

Étape 4.7

Multipliez $7$ par $1$ .

$- 9 \frac{3 (7 x + 3) e^{3 x} - e^{3 x} (7 + \frac{d}{d x} [3])}{{(7 x + 3)}^{2}}$

Étape 4.8

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 9 \frac{3 (7 x + 3) e^{3 x} - e^{3 x} (7 + 0)}{{(7 x + 3)}^{2}}$

Étape 4.9

Associez les fractions.

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Étape 4.9.1

Additionnez $7$ et $0$ .

$- 9 \frac{3 (7 x + 3) e^{3 x} - e^{3 x} \cdot 7}{{(7 x + 3)}^{2}}$

Étape 4.9.2

Multipliez $7$ par $- 1$ .

$- 9 \frac{3 (7 x + 3) e^{3 x} - 7 e^{3 x}}{{(7 x + 3)}^{2}}$

Étape 4.9.3

Associez $- 9$ et $\frac{3 (7 x + 3) e^{3 x} - 7 e^{3 x}}{{(7 x + 3)}^{2}}$ .

$\frac{- 9 (3 (7 x + 3) e^{3 x} - 7 e^{3 x})}{{(7 x + 3)}^{2}}$

Étape 4.9.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{9 (3 (7 x + 3) e^{3 x} - 7 e^{3 x})}{{(7 x + 3)}^{2}}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{9 ((3 (7 x) + 3 \cdot 3) e^{3 x} - 7 e^{3 x})}{{(7 x + 3)}^{2}}$

Étape 5.2

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{9 (3 (7 x) e^{3 x} + 3 \cdot 3 e^{3 x} - 7 e^{3 x})}{{(7 x + 3)}^{2}}$

Étape 5.3

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{9 (3 (7 x) e^{3 x}) + 9 (3 \cdot 3 e^{3 x}) + 9 (- 7 e^{3 x})}{{(7 x + 3)}^{2}}$

Étape 5.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.4.1.1

Multipliez $7$ par $3$ .

$- \frac{9 (21 x e^{3 x}) + 9 (3 \cdot 3 e^{3 x}) + 9 (- 7 e^{3 x})}{{(7 x + 3)}^{2}}$

Étape 5.4.1.2

Multipliez $21$ par $9$ .

$- \frac{189 (x e^{3 x}) + 9 (3 \cdot 3 e^{3 x}) + 9 (- 7 e^{3 x})}{{(7 x + 3)}^{2}}$

Étape 5.4.1.3

Multipliez $3$ par $3$ .

$- \frac{189 x e^{3 x} + 9 (9 e^{3 x}) + 9 (- 7 e^{3 x})}{{(7 x + 3)}^{2}}$

Étape 5.4.1.4

Multipliez $9$ par $9$ .

$- \frac{189 x e^{3 x} + 81 e^{3 x} + 9 (- 7 e^{3 x})}{{(7 x + 3)}^{2}}$

Étape 5.4.1.5

Multipliez $- 7$ par $9$ .

$- \frac{189 x e^{3 x} + 81 e^{3 x} - 63 e^{3 x}}{{(7 x + 3)}^{2}}$

Étape 5.4.2

Soustrayez $63 e^{3 x}$ de $81 e^{3 x}$ .

$- \frac{189 x e^{3 x} + 18 e^{3 x}}{{(7 x + 3)}^{2}}$

Étape 5.5

Factorisez $9 e^{3 x}$ à partir de $189 x e^{3 x} + 18 e^{3 x}$ .

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Étape 5.5.1

Factorisez $9 e^{3 x}$ à partir de $189 x e^{3 x}$ .

$- \frac{9 e^{3 x} (21 x) + 18 e^{3 x}}{{(7 x + 3)}^{2}}$

Étape 5.5.2

Factorisez $9 e^{3 x}$ à partir de $18 e^{3 x}$ .

$- \frac{9 e^{3 x} (21 x) + 9 e^{3 x} (2)}{{(7 x + 3)}^{2}}$

Étape 5.5.3

Factorisez $9 e^{3 x}$ à partir de $9 e^{3 x} (21 x) + 9 e^{3 x} (2)$ .

$- \frac{9 e^{3 x} (21 x + 2)}{{(7 x + 3)}^{2}}$