Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{8 x - 3}{6 x + 1}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = 8 x - 3$ et $g (x) = 6 x + 1$ .

$\frac{(6 x + 1) \frac{d}{d x} [8 x - 3] - (8 x - 3) \frac{d}{d x} [6 x + 1]}{{(6 x + 1)}^{2}}$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $8 x - 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{(6 x + 1) (\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 3]) - (8 x - 3) \frac{d}{d x} [6 x + 1]}{{(6 x + 1)}^{2}}$

Étape 2.2

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8 x$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(6 x + 1) (8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]) - (8 x - 3) \frac{d}{d x} [6 x + 1]}{{(6 x + 1)}^{2}}$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(6 x + 1) (8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]) - (8 x - 3) \frac{d}{d x} [6 x + 1]}{{(6 x + 1)}^{2}}$

Étape 2.4

Multipliez $8$ par $1$ .

$\frac{(6 x + 1) (8 + \frac{d}{d x} [- 3]) - (8 x - 3) \frac{d}{d x} [6 x + 1]}{{(6 x + 1)}^{2}}$

Étape 2.5

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(6 x + 1) (8 + 0) - (8 x - 3) \frac{d}{d x} [6 x + 1]}{{(6 x + 1)}^{2}}$

Étape 2.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.6.1

Additionnez $8$ et $0$ .

$\frac{(6 x + 1) \cdot 8 - (8 x - 3) \frac{d}{d x} [6 x + 1]}{{(6 x + 1)}^{2}}$

Étape 2.6.2

Déplacez $8$ à gauche de $6 x + 1$ .

$\frac{8 \cdot (6 x + 1) - (8 x - 3) \frac{d}{d x} [6 x + 1]}{{(6 x + 1)}^{2}}$

Étape 2.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $6 x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{8 (6 x + 1) - (8 x - 3) (\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(6 x + 1)}^{2}}$

Étape 2.8

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{8 (6 x + 1) - (8 x - 3) (6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(6 x + 1)}^{2}}$

Étape 2.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{8 (6 x + 1) - (8 x - 3) (6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(6 x + 1)}^{2}}$

Étape 2.10

Multipliez $6$ par $1$ .

$\frac{8 (6 x + 1) - (8 x - 3) (6 + \frac{d}{d x} [1])}{{(6 x + 1)}^{2}}$

Étape 2.11

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{8 (6 x + 1) - (8 x - 3) (6 + 0)}{{(6 x + 1)}^{2}}$

Étape 2.12

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.12.1

Additionnez $6$ et $0$ .

$\frac{8 (6 x + 1) - (8 x - 3) \cdot 6}{{(6 x + 1)}^{2}}$

Étape 2.12.2

Multipliez $6$ par $- 1$ .

$\frac{8 (6 x + 1) - 6 (8 x - 3)}{{(6 x + 1)}^{2}}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{8 (6 x) + 8 \cdot 1 - 6 (8 x - 3)}{{(6 x + 1)}^{2}}$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{8 (6 x) + 8 \cdot 1 - 6 (8 x) - 6 \cdot - 3}{{(6 x + 1)}^{2}}$

Étape 3.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.3.1

Associez les termes opposés dans $8 (6 x) + 8 \cdot 1 - 6 (8 x) - 6 \cdot - 3$ .

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Étape 3.3.1.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $8 (6 x)$ et $- 6 (8 x)$ .

$\frac{6 \cdot 8 x + 8 \cdot 1 - 6 \cdot 8 x - 6 \cdot - 3}{{(6 x + 1)}^{2}}$

Étape 3.3.1.2

Soustrayez $6 \cdot 8 x$ de $6 \cdot 8 x$ .

$\frac{8 \cdot 1 + 0 - 6 \cdot - 3}{{(6 x + 1)}^{2}}$

Étape 3.3.1.3

Additionnez $8 \cdot 1$ et $0$ .

$\frac{8 \cdot 1 - 6 \cdot - 3}{{(6 x + 1)}^{2}}$

Étape 3.3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.2.1

Multipliez $8$ par $1$ .

$\frac{8 - 6 \cdot - 3}{{(6 x + 1)}^{2}}$

Étape 3.3.2.2

Multipliez $- 6$ par $- 3$ .

$\frac{8 + 18}{{(6 x + 1)}^{2}}$

Étape 3.3.3

Additionnez $8$ et $18$ .

$\frac{26}{{(6 x + 1)}^{2}}$