Calcul infinitésimal Exemples

$y = e^{2 \sin (3 x)}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 2 \sin (3 x)$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $2 \sin (3 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [2 \sin (3 x)]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [2 \sin (3 x)]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $2 \sin (3 x)$ .

$e^{2 \sin (3 x)} \frac{d}{d x} [2 \sin (3 x)]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 \sin (3 x)$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$ .

$e^{2 \sin (3 x)} (2 \frac{d}{d x} [\sin (3 x)])$

Étape 2.2

Déplacez $2$ à gauche de $e^{2 \sin (3 x)}$ .

$2 \cdot e^{2 \sin (3 x)} \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 3 x$ .

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Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $3 x$ .

$2 e^{2 \sin (3 x)} (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x])$

Étape 3.2

La dérivée de $\sin (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\cos (u_{2})$ .

$2 e^{2 \sin (3 x)} (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x])$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $3 x$ .

$2 e^{2 \sin (3 x)} (\cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])$

Étape 4

Différenciez.

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Étape 4.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 e^{2 \sin (3 x)} \cos (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$6 e^{2 \sin (3 x)} \cos (3 x) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$6 e^{2 \sin (3 x)} \cos (3 x) \cdot 1$

Étape 4.4

Multipliez $6$ par $1$ .

$6 e^{2 \sin (3 x)} \cos (3 x)$