Calcul infinitésimal Exemples

$y = \csc^{5} (1 - x + 3 x^{2})$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{5}$ et $g (x) = \csc (1 - x + 3 x^{2})$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\csc (1 - x + 3 x^{2})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{5}] \frac{d}{d x} [\csc (1 - x + 3 x^{2})]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$5 {u_{1}}^{4} \frac{d}{d x} [\csc (1 - x + 3 x^{2})]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\csc (1 - x + 3 x^{2})$ .

$5 \csc^{4} (1 - x + 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [\csc (1 - x + 3 x^{2})]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \csc (x)$ et $g (x) = 1 - x + 3 x^{2}$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $1 - x + 3 x^{2}$ .

$5 \csc^{4} (1 - x + 3 x^{2}) (\frac{d}{d u_{2}} [\csc (u_{2})] \frac{d}{d x} [1 - x + 3 x^{2}])$

Étape 2.2

La dérivée de $\csc (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $- \csc (u_{2}) \cot (u_{2})$ .

$5 \csc^{4} (1 - x + 3 x^{2}) (- \csc (u_{2}) \cot (u_{2}) \frac{d}{d x} [1 - x + 3 x^{2}])$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $1 - x + 3 x^{2}$ .

$5 \csc^{4} (1 - x + 3 x^{2}) (- \csc (1 - x + 3 x^{2}) \cot (1 - x + 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - x + 3 x^{2}])$

Étape 3

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$- 5 \csc^{4} (1 - x + 3 x^{2}) (\csc (1 - x + 3 x^{2}) \cot (1 - x + 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - x + 3 x^{2}])$

Étape 4

Élevez $\csc (1 - x + 3 x^{2})$ à la puissance $1$ .

$- 5 (\csc^{1} (1 - x + 3 x^{2}) \csc^{4} (1 - x + 3 x^{2})) (\cot (1 - x + 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - x + 3 x^{2}])$

Étape 5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 5 {\csc (1 - x + 3 x^{2})}^{1 + 4} (\cot (1 - x + 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - x + 3 x^{2}])$

Étape 6

Additionnez $1$ et $4$ .

$- 5 \csc^{5} (1 - x + 3 x^{2}) (\cot (1 - x + 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - x + 3 x^{2}])$

Étape 7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - x + 3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

$- 5 \csc^{5} (1 - x + 3 x^{2}) \cot (1 - x + 3 x^{2}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}])$

Étape 8

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 5 \csc^{5} (1 - x + 3 x^{2}) \cot (1 - x + 3 x^{2}) (0 + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}])$

Étape 9

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$- 5 \csc^{5} (1 - x + 3 x^{2}) \cot (1 - x + 3 x^{2}) (\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}])$

Étape 10

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 5 \csc^{5} (1 - x + 3 x^{2}) \cot (1 - x + 3 x^{2}) (- \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}])$

Étape 11

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 5 \csc^{5} (1 - x + 3 x^{2}) \cot (1 - x + 3 x^{2}) (- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3 x^{2}])$

Étape 12

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 5 \csc^{5} (1 - x + 3 x^{2}) \cot (1 - x + 3 x^{2}) (- 1 + \frac{d}{d x} [3 x^{2}])$

Étape 13

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 5 \csc^{5} (1 - x + 3 x^{2}) \cot (1 - x + 3 x^{2}) (- 1 + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 14

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 5 \csc^{5} (1 - x + 3 x^{2}) \cot (1 - x + 3 x^{2}) (- 1 + 3 (2 x))$

Étape 15

Multipliez $2$ par $3$ .

$- 5 \csc^{5} (1 - x + 3 x^{2}) \cot (1 - x + 3 x^{2}) (- 1 + 6 x)$