Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{9 x^{2} + 1}{x^{2} + 9}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = 9 x^{2} + 1$ et $g (x) = x^{2} + 9$ .

$\frac{(x^{2} + 9) \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 1] - (9 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $9 x^{2} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(x^{2} + 9) (\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) - (9 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Étape 2.2

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9 x^{2}$ par rapport à $x$ est $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(x^{2} + 9) (9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) - (9 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + 9) (9 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]) - (9 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Étape 2.4

Multipliez $2$ par $9$ .

$\frac{(x^{2} + 9) (18 x + \frac{d}{d x} [1]) - (9 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Étape 2.5

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(x^{2} + 9) (18 x + 0) - (9 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Étape 2.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.6.1

Additionnez $18 x$ et $0$ .

$\frac{(x^{2} + 9) (18 x) - (9 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Étape 2.6.2

Déplacez $18$ à gauche de $x^{2} + 9$ .

$\frac{18 \cdot (x^{2} + 9) x - (9 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Étape 2.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 9$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{18 (x^{2} + 9) x - (9 x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9])}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Étape 2.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{18 (x^{2} + 9) x - (9 x^{2} + 1) (2 x + \frac{d}{d x} [9])}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Étape 2.9

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{18 (x^{2} + 9) x - (9 x^{2} + 1) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Étape 2.10

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.10.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$\frac{18 (x^{2} + 9) x - (9 x^{2} + 1) (2 x)}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Étape 2.10.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{18 (x^{2} + 9) x - 2 (9 x^{2} + 1) x}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(18 x^{2} + 18 \cdot 9) x - 2 (9 x^{2} + 1) x}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{18 x^{2} x + 18 \cdot 9 x - 2 (9 x^{2} + 1) x}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Étape 3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{18 x^{2} x + 18 \cdot 9 x + (- 2 (9 x^{2}) - 2 \cdot 1) x}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Étape 3.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{18 x^{2} x + 18 \cdot 9 x - 2 (9 x^{2}) x - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Étape 3.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.5.1.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.5.1.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{18 (x \cdot x^{2}) + 18 \cdot 9 x - 2 (9 x^{2}) x - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Étape 3.5.1.1.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 3.5.1.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{18 (x^{1} x^{2}) + 18 \cdot 9 x - 2 (9 x^{2}) x - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Étape 3.5.1.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{18 x^{1 + 2} + 18 \cdot 9 x - 2 (9 x^{2}) x - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Étape 3.5.1.1.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{18 x^{3} + 18 \cdot 9 x - 2 (9 x^{2}) x - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Étape 3.5.1.2

Multipliez $18$ par $9$ .

$\frac{18 x^{3} + 162 x - 2 (9 x^{2}) x - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Étape 3.5.1.3

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.5.1.3.1

Déplacez $x$ .

$\frac{18 x^{3} + 162 x - 2 (9 (x \cdot x^{2})) - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Étape 3.5.1.3.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 3.5.1.3.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{18 x^{3} + 162 x - 2 (9 (x^{1} x^{2})) - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Étape 3.5.1.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{18 x^{3} + 162 x - 2 (9 x^{1 + 2}) - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Étape 3.5.1.3.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{18 x^{3} + 162 x - 2 (9 x^{3}) - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Étape 3.5.1.4

Multipliez $9$ par $- 2$ .

$\frac{18 x^{3} + 162 x - 18 x^{3} - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Étape 3.5.1.5

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$\frac{18 x^{3} + 162 x - 18 x^{3} - 2 x}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Étape 3.5.2

Associez les termes opposés dans $18 x^{3} + 162 x - 18 x^{3} - 2 x$ .

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Étape 3.5.2.1

Soustrayez $18 x^{3}$ de $18 x^{3}$ .

$\frac{162 x + 0 - 2 x}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Étape 3.5.2.2

Additionnez $162 x$ et $0$ .

$\frac{162 x - 2 x}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Étape 3.5.3

Soustrayez $2 x$ de $162 x$ .

$\frac{160 x}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$