Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{\cos (π x)}{\sin (π x) + \cos (π x)}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = \cos (π x)$ et $g (x) = \sin (π x) + \cos (π x)$ .

$\frac{(\sin (π x) + \cos (π x)) \frac{d}{d x} [\cos (π x)] - \cos (π x) \frac{d}{d x} [\sin (π x) + \cos (π x)]}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = π x$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $π x$ .

$\frac{(\sin (π x) + \cos (π x)) (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [π x]) - \cos (π x) \frac{d}{d x} [\sin (π x) + \cos (π x)]}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

Étape 2.2

La dérivée de $\cos (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $- \sin (u_{1})$ .

$\frac{(\sin (π x) + \cos (π x)) (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [π x]) - \cos (π x) \frac{d}{d x} [\sin (π x) + \cos (π x)]}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $π x$ .

$\frac{(\sin (π x) + \cos (π x)) (- \sin (π x) \frac{d}{d x} [π x]) - \cos (π x) \frac{d}{d x} [\sin (π x) + \cos (π x)]}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Comme $π$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $π x$ par rapport à $x$ est $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(\sin (π x) + \cos (π x)) (- \sin (π x) (π \frac{d}{d x} [x])) - \cos (π x) \frac{d}{d x} [\sin (π x) + \cos (π x)]}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(\sin (π x) + \cos (π x)) (- \sin (π x) (π \cdot 1)) - \cos (π x) \frac{d}{d x} [\sin (π x) + \cos (π x)]}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

Étape 3.3

Multipliez $π$ par $1$ .

$\frac{(\sin (π x) + \cos (π x)) (- \sin (π x) π) - \cos (π x) \frac{d}{d x} [\sin (π x) + \cos (π x)]}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

Étape 3.4

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\sin (π x) + \cos (π x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\sin (π x)] + \frac{d}{d x} [\cos (π x)]$ .

$\frac{(\sin (π x) + \cos (π x)) (- \sin (π x) π) - \cos (π x) (\frac{d}{d x} [\sin (π x)] + \frac{d}{d x} [\cos (π x)])}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = π x$ .

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Étape 4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $π x$ .

$\frac{(\sin (π x) + \cos (π x)) (- \sin (π x) π) - \cos (π x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [π x] + \frac{d}{d x} [\cos (π x)])}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

Étape 4.2

La dérivée de $\sin (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\cos (u_{2})$ .

$\frac{(\sin (π x) + \cos (π x)) (- \sin (π x) π) - \cos (π x) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [π x] + \frac{d}{d x} [\cos (π x)])}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

Étape 4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $π x$ .

$\frac{(\sin (π x) + \cos (π x)) (- \sin (π x) π) - \cos (π x) (\cos (π x) \frac{d}{d x} [π x] + \frac{d}{d x} [\cos (π x)])}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

Étape 5

Différenciez.

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Étape 5.1

Comme $π$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $π x$ par rapport à $x$ est $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(\sin (π x) + \cos (π x)) (- \sin (π x) π) - \cos (π x) (\cos (π x) (π \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\cos (π x)])}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

Étape 5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(\sin (π x) + \cos (π x)) (- \sin (π x) π) - \cos (π x) (\cos (π x) (π \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\cos (π x)])}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

Étape 5.3

Multipliez $π$ par $1$ .

$\frac{(\sin (π x) + \cos (π x)) (- \sin (π x) π) - \cos (π x) (\cos (π x) π + \frac{d}{d x} [\cos (π x)])}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

Étape 6

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = π x$ .

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Étape 6.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{3}$ comme $π x$ .

$\frac{(\sin (π x) + \cos (π x)) (- \sin (π x) π) - \cos (π x) (\cos (π x) π + \frac{d}{d u_{3}} [\cos (u_{3})] \frac{d}{d x} [π x])}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

Étape 6.2

La dérivée de $\cos (u_{3})$ par rapport à $u_{3}$ est $- \sin (u_{3})$ .

$\frac{(\sin (π x) + \cos (π x)) (- \sin (π x) π) - \cos (π x) (\cos (π x) π - \sin (u_{3}) \frac{d}{d x} [π x])}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

Étape 6.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{3}$ par $π x$ .

$\frac{(\sin (π x) + \cos (π x)) (- \sin (π x) π) - \cos (π x) (\cos (π x) π - \sin (π x) \frac{d}{d x} [π x])}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

Étape 7

Différenciez.

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Étape 7.1

Comme $π$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $π x$ par rapport à $x$ est $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(\sin (π x) + \cos (π x)) (- \sin (π x) π) - \cos (π x) (\cos (π x) π - \sin (π x) (π \frac{d}{d x} [x]))}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

Étape 7.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(\sin (π x) + \cos (π x)) (- \sin (π x) π) - \cos (π x) (\cos (π x) π - \sin (π x) (π \cdot 1))}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

Étape 7.3

Multipliez $π$ par $1$ .

$\frac{(\sin (π x) + \cos (π x)) (- \sin (π x) π) - \cos (π x) (\cos (π x) π - \sin (π x) π)}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sin (π x) (- \sin (π x) π) + \cos (π x) (- \sin (π x) π) - \cos (π x) (\cos (π x) π - \sin (π x) π)}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

Étape 8.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sin (π x) (- \sin (π x) π) + \cos (π x) (- \sin (π x) π) - \cos (π x) (\cos (π x) π) - \cos (π x) (- \sin (π x) π)}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

Étape 8.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.3.1

Associez les termes opposés dans $\sin (π x) (- \sin (π x) π) + \cos (π x) (- \sin (π x) π) - \cos (π x) (\cos (π x) π) - \cos (π x) (- \sin (π x) π)$ .

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Étape 8.3.1.1

Soustrayez $\cos (π x) (- \sin (π x) π)$ de $\cos (π x) (- \sin (π x) π)$ .

$\frac{\sin (π x) (- \sin (π x) π) - \cos (π x) (\cos (π x) π) + 0}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

Étape 8.3.1.2

Additionnez $\sin (π x) (- \sin (π x) π) - \cos (π x) (\cos (π x) π)$ et $0$ .

$\frac{\sin (π x) (- \sin (π x) π) - \cos (π x) (\cos (π x) π)}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

Étape 8.3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.3.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{- π \sin (π x) \sin (π x) - \cos (π x) (\cos (π x) π)}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

Étape 8.3.2.2

Multipliez $- π \sin (π x) \sin (π x)$ .

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Étape 8.3.2.2.1

Élevez $\sin (π x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{- π (\sin^{1} (π x) \sin (π x)) - \cos (π x) (\cos (π x) π)}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

Étape 8.3.2.2.2

Élevez $\sin (π x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{- π (\sin^{1} (π x) \sin^{1} (π x)) - \cos (π x) (\cos (π x) π)}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

Étape 8.3.2.2.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- π {\sin (π x)}^{1 + 1} - \cos (π x) (\cos (π x) π)}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

Étape 8.3.2.2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{- π \sin^{2} (π x) - \cos (π x) (\cos (π x) π)}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

Étape 8.3.2.3

Multipliez $- \cos (π x) (\cos (π x) π)$ .

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Étape 8.3.2.3.1

Élevez $\cos (π x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{- π \sin^{2} (π x) - (\cos^{1} (π x) \cos (π x)) π}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

Étape 8.3.2.3.2

Élevez $\cos (π x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{- π \sin^{2} (π x) - (\cos^{1} (π x) \cos^{1} (π x)) π}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

Étape 8.3.2.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- π \sin^{2} (π x) - {\cos (π x)}^{1 + 1} π}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

Étape 8.3.2.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{- π \sin^{2} (π x) - \cos^{2} (π x) π}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

Étape 8.3.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- π \sin^{2} (π x) - \cos^{2} (π x) π$ .

$\frac{- π \sin^{2} (π x) - π \cos^{2} (π x)}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

Étape 8.4

Factorisez $- π$ à partir de $- π \sin^{2} (π x)$ .

$\frac{- π (\sin^{2} (π x)) - π \cos^{2} (π x)}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

Étape 8.5

Factorisez $- π$ à partir de $- π \cos^{2} (π x)$ .

$\frac{- π (\sin^{2} (π x)) - π (\cos^{2} (π x))}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

Étape 8.6

Factorisez $- π$ à partir de $- π (\sin^{2} (π x)) - π (\cos^{2} (π x))$ .

$\frac{- π (\sin^{2} (π x) + \cos^{2} (π x))}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

Étape 8.7

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\frac{- π \cdot 1}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

Étape 8.8

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{- π}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

Étape 8.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{π}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$