Calcul infinitésimal Exemples

$y = \cos^{2} (\ln (2 x))$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \cos (\ln (2 x))$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\cos (\ln (2 x))$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (\ln (2 x))]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\cos (\ln (2 x))]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\cos (\ln (2 x))$ .

$2 \cos (\ln (2 x)) \frac{d}{d x} [\cos (\ln (2 x))]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = \ln (2 x)$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $\ln (2 x)$ .

$2 \cos (\ln (2 x)) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [\ln (2 x)])$

Étape 2.2

La dérivée de $\cos (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $- \sin (u_{2})$ .

$2 \cos (\ln (2 x)) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [\ln (2 x)])$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $\ln (2 x)$ .

$2 \cos (\ln (2 x)) (- \sin (\ln (2 x)) \frac{d}{d x} [\ln (2 x)])$

Étape 3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 2 \cos (\ln (2 x)) (\sin (\ln (2 x)) \frac{d}{d x} [\ln (2 x)])$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{3}$ comme $2 x$ .

$- 2 \cos (\ln (2 x)) \sin (\ln (2 x)) (\frac{d}{d u_{3}} [\ln (u_{3})] \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 4.2

La dérivée de $\ln (u_{3})$ par rapport à $u_{3}$ est $\frac{1}{u_{3}}$ .

$- 2 \cos (\ln (2 x)) \sin (\ln (2 x)) (\frac{1}{u_{3}} \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{3}$ par $2 x$ .

$- 2 \cos (\ln (2 x)) \sin (\ln (2 x)) (\frac{1}{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 5

Différenciez.

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Étape 5.1

Associez $\frac{1}{2 x}$ et $- 2$ .

$\frac{- 2}{2 x} \cos (\ln (2 x)) \sin (\ln (2 x)) \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 5.2

Simplifiez les termes.

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Étape 5.2.1

Associez $\frac{- 2}{2 x}$ et $\cos (\ln (2 x))$ .

$\frac{- 2 \cos (\ln (2 x))}{2 x} \sin (\ln (2 x)) \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 5.2.2

Associez $\frac{- 2 \cos (\ln (2 x))}{2 x}$ et $\sin (\ln (2 x))$ .

$\frac{- 2 \cos (\ln (2 x)) \sin (\ln (2 x))}{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 5.2.3

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 5.2.3.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 \cos (\ln (2 x)) \sin (\ln (2 x))$ .

$\frac{2 (- \cos (\ln (2 x)) \sin (\ln (2 x)))}{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 5.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$\frac{2 (- \cos (\ln (2 x)) \sin (\ln (2 x)))}{2 (x)} \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 5.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (- \cos (\ln (2 x)) \sin (\ln (2 x)))}{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 5.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- \cos (\ln (2 x)) \sin (\ln (2 x))}{x} \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 5.2.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{\cos (\ln (2 x)) \sin (\ln (2 x))}{x} \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 5.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{\cos (\ln (2 x)) \sin (\ln (2 x))}{x} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 5.4

Associez les fractions.

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Étape 5.4.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 2 \frac{\cos (\ln (2 x)) \sin (\ln (2 x))}{x} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 5.4.2

Associez $- 2$ et $\frac{\cos (\ln (2 x)) \sin (\ln (2 x))}{x}$ .

$\frac{- 2 (\cos (\ln (2 x)) \sin (\ln (2 x)))}{x} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 5.4.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2 \cos (\ln (2 x)) \sin (\ln (2 x))}{x} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 5.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- \frac{2 \cos (\ln (2 x)) \sin (\ln (2 x))}{x} \cdot 1$

Étape 5.6

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- \frac{2 \cos (\ln (2 x)) \sin (\ln (2 x))}{x}$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Remettez dans l’ordre $2 \cos (\ln (2 x))$ et $\sin (\ln (2 x))$ .

$- \frac{\sin (\ln (2 x)) (2 \cos (\ln (2 x)))}{x}$

Étape 6.2

Remettez dans l’ordre $\sin (\ln (2 x))$ et $2$ .

$- \frac{2 \cdot \sin (\ln (2 x)) \cos (\ln (2 x))}{x}$

Étape 6.3

Appliquez l’identité d’angle double du sinus.

$- \frac{\sin (2 \ln (2 x))}{x}$

Étape 6.4

Simplifiez $2 \ln (2 x)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$- \frac{\sin (\ln ({(2 x)}^{2}))}{x}$

Étape 6.5

Appliquez la règle de produit à $2 x$ .

$- \frac{\sin (\ln (2^{2} x^{2}))}{x}$

Étape 6.6

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$- \frac{\sin (\ln (4 x^{2}))}{x}$