Calcul infinitésimal Exemples

$y = - \arccos (\frac{1}{x^{3}})$

Étape 1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \arccos (\frac{1}{x^{3}})$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\arccos (\frac{1}{x^{3}})]$ .

$- \frac{d}{d x} [\arccos (\frac{1}{x^{3}})]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \arccos (x)$ et $g (x) = \frac{1}{x^{3}}$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{1}{x^{3}}$ .

$- (\frac{d}{d u} [\arccos (u)] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}])$

Étape 2.2

La dérivée de $\arccos (u)$ par rapport à $u$ est $- \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$ .

$- (- \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}])$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{1}{x^{3}}$ .

$- (- \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x^{3}})}^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}])$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 (\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x^{3}})}^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}])$

Étape 3.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.2.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x^{3}})}^{2}}}$ par $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x^{3}})}^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Étape 3.2.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{3}}$ comme ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x^{3}})}^{2}}} \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]$

Étape 3.2.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Étape 3.2.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x^{3}})}^{2}}} \frac{d}{d x} [x^{3 \cdot - 1}]$

Étape 3.2.3.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x^{3}})}^{2}}} \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 3$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x^{3}})}^{2}}} (- 3 x^{- 4})$

Étape 3.4

Associez les fractions.

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Étape 3.4.1

Associez $- 3$ et $\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x^{3}})}^{2}}}$ .

$\frac{- 3}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x^{3}})}^{2}}} x^{- 4}$

Étape 3.4.2

Associez $\frac{- 3}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x^{3}})}^{2}}}$ et $x^{- 4}$ .

$\frac{- 3 x^{- 4}}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x^{3}})}^{2}}}$

Étape 3.4.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.4.3.1

Placez $x^{- 4}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 3}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x^{3}})}^{2}} x^{4}}$

Étape 3.4.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{3}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x^{3}})}^{2}} x^{4}}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{x^{3}}$ .

$- \frac{3}{\sqrt{1 - \frac{1^{2}}{{(x^{3})}^{2}}} x^{4}}$

Étape 4.2

Associez des termes.

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Étape 4.2.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- \frac{3}{\sqrt{1 - \frac{1}{{(x^{3})}^{2}}} x^{4}}$

Étape 4.2.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{3})}^{2}$ .

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Étape 4.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{3}{\sqrt{1 - \frac{1}{x^{3 \cdot 2}}} x^{4}}$

Étape 4.2.2.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$- \frac{3}{\sqrt{1 - \frac{1}{x^{6}}} x^{4}}$