Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{\ln (x)}{x + 1}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = x + 1$ .

$\frac{(x + 1) \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 2

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$\frac{(x + 1) \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(x + 1) \frac{1}{x} - \ln (x) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(x + 1) \frac{1}{x} - \ln (x) (1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 3.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(x + 1) \frac{1}{x} - \ln (x) (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 3.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{(x + 1) \frac{1}{x} - \ln (x) \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 3.4.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{(x + 1) \frac{1}{x} - \ln (x)}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \frac{1}{x} + 1 \frac{1}{x} - \ln (x)}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 4.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \frac{1}{x} + 1 \frac{1}{x} - \ln (x)}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 4.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1 + 1 \frac{1}{x} - \ln (x)}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 4.2.2

Multipliez $\frac{1}{x}$ par $1$ .

$\frac{1 + \frac{1}{x} - \ln (x)}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 4.3

Associez des termes.

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Étape 4.3.1

Multipliez $\frac{1 + \frac{1}{x} - \ln (x)}{{(x + 1)}^{2}}$ par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{x}{x} \cdot \frac{1 + \frac{1}{x} - \ln (x)}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 4.3.2

Associez.

$\frac{x (1 + \frac{1}{x} - \ln (x))}{x {(x + 1)}^{2}}$

Étape 4.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot 1 + x \frac{1}{x} + x (- \ln (x))}{x {(x + 1)}^{2}}$

Étape 4.3.4

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 4.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \cdot 1 + x \frac{1}{x} + x (- \ln (x))}{x {(x + 1)}^{2}}$

Étape 4.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x \cdot 1 + 1 + x (- \ln (x))}{x {(x + 1)}^{2}}$

Étape 4.3.5

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{x + 1 + x (- \ln (x))}{x {(x + 1)}^{2}}$

Étape 4.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- x \ln (x) + x + 1}{x {(x + 1)}^{2}}$

Étape 4.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- x \ln (x)$ .

$\frac{- (x \ln (x)) + x + 1}{x {(x + 1)}^{2}}$

Étape 4.6

Factorisez $- 1$ à partir de $x$ .

$\frac{- (x \ln (x)) - 1 (- x) + 1}{x {(x + 1)}^{2}}$

Étape 4.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x \ln (x)) - 1 (- x)$ .

$\frac{- (x \ln (x) - x) + 1}{x {(x + 1)}^{2}}$

Étape 4.8

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- (x \ln (x) - x) - 1 (- 1)}{x {(x + 1)}^{2}}$

Étape 4.9

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x \ln (x) - x) - 1 (- 1)$ .

$\frac{- (x \ln (x) - x - 1)}{x {(x + 1)}^{2}}$

Étape 4.10

Réécrivez $- (x \ln (x) - x - 1)$ comme $- 1 (x \ln (x) - x - 1)$ .

$\frac{- 1 (x \ln (x) - x - 1)}{x {(x + 1)}^{2}}$

Étape 4.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{x \ln (x) - x - 1}{x {(x + 1)}^{2}}$