Calcul infinitésimal Exemples

$y = \ln ({(5 x^{8} + 7 x)}^{\frac{9}{5}})$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = {(5 x^{8} + 7 x)}^{\frac{9}{5}}$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme ${(5 x^{8} + 7 x)}^{\frac{9}{5}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(5 x^{8} + 7 x)}^{\frac{9}{5}}]$

Étape 1.2

La dérivée de $\ln (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [{(5 x^{8} + 7 x)}^{\frac{9}{5}}]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par ${(5 x^{8} + 7 x)}^{\frac{9}{5}}$ .

$\frac{1}{{(5 x^{8} + 7 x)}^{\frac{9}{5}}} \frac{d}{d x} [{(5 x^{8} + 7 x)}^{\frac{9}{5}}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{9}{5}}$ et $g (x) = 5 x^{8} + 7 x$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $5 x^{8} + 7 x$ .

$\frac{1}{{(5 x^{8} + 7 x)}^{\frac{9}{5}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{9}{5}}] \frac{d}{d x} [5 x^{8} + 7 x])$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = \frac{9}{5}$ .

$\frac{1}{{(5 x^{8} + 7 x)}^{\frac{9}{5}}} (\frac{9}{5} {u_{2}}^{\frac{9}{5} - 1} \frac{d}{d x} [5 x^{8} + 7 x])$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $5 x^{8} + 7 x$ .

$\frac{1}{{(5 x^{8} + 7 x)}^{\frac{9}{5}}} (\frac{9}{5} {(5 x^{8} + 7 x)}^{\frac{9}{5} - 1} \frac{d}{d x} [5 x^{8} + 7 x])$

Étape 3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1}{{(5 x^{8} + 7 x)}^{\frac{9}{5}}} (\frac{9}{5} {(5 x^{8} + 7 x)}^{\frac{9}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}} \frac{d}{d x} [5 x^{8} + 7 x])$

Étape 4

Associez $- 1$ et $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1}{{(5 x^{8} + 7 x)}^{\frac{9}{5}}} (\frac{9}{5} {(5 x^{8} + 7 x)}^{\frac{9}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}} \frac{d}{d x} [5 x^{8} + 7 x])$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{{(5 x^{8} + 7 x)}^{\frac{9}{5}}} (\frac{9}{5} {(5 x^{8} + 7 x)}^{\frac{9 - 1 \cdot 5}{5}} \frac{d}{d x} [5 x^{8} + 7 x])$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$\frac{1}{{(5 x^{8} + 7 x)}^{\frac{9}{5}}} (\frac{9}{5} {(5 x^{8} + 7 x)}^{\frac{9 - 5}{5}} \frac{d}{d x} [5 x^{8} + 7 x])$

Étape 6.2

Soustrayez $5$ de $9$ .

$\frac{1}{{(5 x^{8} + 7 x)}^{\frac{9}{5}}} (\frac{9}{5} {(5 x^{8} + 7 x)}^{\frac{4}{5}} \frac{d}{d x} [5 x^{8} + 7 x])$

Étape 7

Associez $\frac{9}{5}$ et ${(5 x^{8} + 7 x)}^{\frac{4}{5}}$ .

$\frac{1}{{(5 x^{8} + 7 x)}^{\frac{9}{5}}} (\frac{9 {(5 x^{8} + 7 x)}^{\frac{4}{5}}}{5} \frac{d}{d x} [5 x^{8} + 7 x])$

Étape 8

Multipliez $\frac{9 {(5 x^{8} + 7 x)}^{\frac{4}{5}}}{5}$ par $\frac{1}{{(5 x^{8} + 7 x)}^{\frac{9}{5}}}$ .

$\frac{9 {(5 x^{8} + 7 x)}^{\frac{4}{5}}}{5 {(5 x^{8} + 7 x)}^{\frac{9}{5}}} \frac{d}{d x} [5 x^{8} + 7 x]$

Étape 9

Placez ${(5 x^{8} + 7 x)}^{\frac{4}{5}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{9}{5 {(5 x^{8} + 7 x)}^{\frac{9}{5}} {(5 x^{8} + 7 x)}^{- \frac{4}{5}}} \frac{d}{d x} [5 x^{8} + 7 x]$

Étape 10

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 10.1

Multipliez ${(5 x^{8} + 7 x)}^{\frac{9}{5}}$ par ${(5 x^{8} + 7 x)}^{- \frac{4}{5}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 10.1.1

Déplacez ${(5 x^{8} + 7 x)}^{- \frac{4}{5}}$ .

$\frac{9}{5 ({(5 x^{8} + 7 x)}^{- \frac{4}{5}} {(5 x^{8} + 7 x)}^{\frac{9}{5}})} \frac{d}{d x} [5 x^{8} + 7 x]$

Étape 10.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{9}{5 {(5 x^{8} + 7 x)}^{- \frac{4}{5} + \frac{9}{5}}} \frac{d}{d x} [5 x^{8} + 7 x]$

Étape 10.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{9}{5 {(5 x^{8} + 7 x)}^{\frac{- 4 + 9}{5}}} \frac{d}{d x} [5 x^{8} + 7 x]$

Étape 10.1.4

Additionnez $- 4$ et $9$ .

$\frac{9}{5 {(5 x^{8} + 7 x)}^{\frac{5}{5}}} \frac{d}{d x} [5 x^{8} + 7 x]$

Étape 10.1.5

Divisez $5$ par $5$ .

$\frac{9}{5 {(5 x^{8} + 7 x)}^{1}} \frac{d}{d x} [5 x^{8} + 7 x]$

Étape 10.2

Simplifiez $5 {(5 x^{8} + 7 x)}^{1}$ .

$\frac{9}{5 (5 x^{8} + 7 x)} \frac{d}{d x} [5 x^{8} + 7 x]$

Étape 11

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 x^{8} + 7 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5 x^{8}] + \frac{d}{d x} [7 x]$ .

$\frac{9}{5 (5 x^{8} + 7 x)} (\frac{d}{d x} [5 x^{8}] + \frac{d}{d x} [7 x])$

Étape 12

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x^{8}$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x^{8}]$ .

$\frac{9}{5 (5 x^{8} + 7 x)} (5 \frac{d}{d x} [x^{8}] + \frac{d}{d x} [7 x])$

Étape 13

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 8$ .

$\frac{9}{5 (5 x^{8} + 7 x)} (5 (8 x^{7}) + \frac{d}{d x} [7 x])$

Étape 14

Multipliez $8$ par $5$ .

$\frac{9}{5 (5 x^{8} + 7 x)} (40 x^{7} + \frac{d}{d x} [7 x])$

Étape 15

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7 x$ par rapport à $x$ est $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{9}{5 (5 x^{8} + 7 x)} (40 x^{7} + 7 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 16

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{9}{5 (5 x^{8} + 7 x)} (40 x^{7} + 7 \cdot 1)$

Étape 17

Multipliez $7$ par $1$ .

$\frac{9}{5 (5 x^{8} + 7 x)} (40 x^{7} + 7)$

Étape 18

Simplifiez

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Étape 18.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{9}{5 (5 x^{8}) + 5 (7 x)} (40 x^{7} + 7)$

Étape 18.2

Associez des termes.

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Étape 18.2.1

Multipliez $5$ par $5$ .

$\frac{9}{25 x^{8} + 5 (7 x)} (40 x^{7} + 7)$

Étape 18.2.2

Multipliez $7$ par $5$ .

$\frac{9}{25 x^{8} + 35 x} (40 x^{7} + 7)$

Étape 18.3

Réorganisez les facteurs de $\frac{9}{25 x^{8} + 35 x} (40 x^{7} + 7)$ .

$(40 x^{7} + 7) \frac{9}{25 x^{8} + 35 x}$

Étape 18.4

Factorisez $5 x$ à partir de $25 x^{8} + 35 x$ .

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Étape 18.4.1

Factorisez $5 x$ à partir de $25 x^{8}$ .

$(40 x^{7} + 7) \frac{9}{5 x (5 x^{7}) + 35 x}$

Étape 18.4.2

Factorisez $5 x$ à partir de $35 x$ .

$(40 x^{7} + 7) \frac{9}{5 x (5 x^{7}) + 5 x (7)}$

Étape 18.4.3

Factorisez $5 x$ à partir de $5 x (5 x^{7}) + 5 x (7)$ .

$(40 x^{7} + 7) \frac{9}{5 x (5 x^{7} + 7)}$

Étape 18.5

Multipliez $40 x^{7} + 7$ par $\frac{9}{5 x (5 x^{7} + 7)}$ .

$\frac{(40 x^{7} + 7) \cdot 9}{5 x (5 x^{7} + 7)}$

Étape 18.6

Déplacez $9$ à gauche de $40 x^{7} + 7$ .

$\frac{9 (40 x^{7} + 7)}{5 x (5 x^{7} + 7)}$