Calcul infinitésimal Exemples

$y = \ln ({(3 - x)}^{\frac{3}{2}})$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme ${(3 - x)}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(3 - x)}^{\frac{3}{2}}]$

Étape 1.2

La dérivée de $\ln (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [{(3 - x)}^{\frac{3}{2}}]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par ${(3 - x)}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{{(3 - x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [{(3 - x)}^{\frac{3}{2}}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{3}{2}}$ et $g (x) = 3 - x$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $3 - x$ .

$\frac{1}{{(3 - x)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{3}{2}}] \frac{d}{d x} [3 - x])$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{1}{{(3 - x)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{3}{2} {u_{2}}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [3 - x])$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $3 - x$ .

$\frac{1}{{(3 - x)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{3}{2} {(3 - x)}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [3 - x])$

Étape 3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{{(3 - x)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{3}{2} {(3 - x)}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [3 - x])$

Étape 4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{{(3 - x)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{3}{2} {(3 - x)}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 - x])$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{{(3 - x)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{3}{2} {(3 - x)}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 - x])$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{{(3 - x)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{3}{2} {(3 - x)}^{\frac{3 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 - x])$

Étape 6.2

Soustrayez $2$ de $3$ .

$\frac{1}{{(3 - x)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{3}{2} {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [3 - x])$

Étape 7

Associez $\frac{3}{2}$ et ${(3 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{{(3 - x)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{3 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [3 - x])$

Étape 8

Multipliez $\frac{3 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ par $\frac{1}{{(3 - x)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{3 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [3 - x]$

Étape 9

Placez ${(3 - x)}^{\frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{3}{2 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}} {(3 - x)}^{- \frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [3 - x]$

Étape 10

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 10.1

Multipliez ${(3 - x)}^{\frac{3}{2}}$ par ${(3 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 10.1.1

Déplacez ${(3 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{3}{2 ({(3 - x)}^{- \frac{1}{2}} {(3 - x)}^{\frac{3}{2}})} \frac{d}{d x} [3 - x]$

Étape 10.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{3}{2 {(3 - x)}^{- \frac{1}{2} + \frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [3 - x]$

Étape 10.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3}{2 {(3 - x)}^{\frac{- 1 + 3}{2}}} \frac{d}{d x} [3 - x]$

Étape 10.1.4

Additionnez $- 1$ et $3$ .

$\frac{3}{2 {(3 - x)}^{\frac{2}{2}}} \frac{d}{d x} [3 - x]$

Étape 10.1.5

Divisez $2$ par $2$ .

$\frac{3}{2 {(3 - x)}^{1}} \frac{d}{d x} [3 - x]$

Étape 10.2

Simplifiez $2 {(3 - x)}^{1}$ .

$\frac{3}{2 (3 - x)} \frac{d}{d x} [3 - x]$

Étape 11

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{3}{2 (3 - x)} (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x])$

Étape 12

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{3}{2 (3 - x)} (0 + \frac{d}{d x} [- x])$

Étape 13

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{3}{2 (3 - x)} \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 14

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{3}{2 (3 - x)} (- \frac{d}{d x} [x])$

Étape 15

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{3}{2 (3 - x)} (- 1 \cdot 1)$

Étape 16

Associez les fractions.

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Étape 16.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{3}{2 (3 - x)} \cdot - 1$

Étape 16.2

Associez $\frac{3}{2 (3 - x)}$ et $- 1$ .

$\frac{3 \cdot - 1}{2 (3 - x)}$

Étape 16.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 16.3.1

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{- 3}{2 (3 - x)}$

Étape 16.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{3}{2 (3 - x)}$