Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{\log (x)}{1 + \log (x)}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = \log (x)$ et $g (x) = 1 + \log (x)$ .

$\frac{(1 + \log (x)) \frac{d}{d x} [\log (x)] - \log (x) \frac{d}{d x} [1 + \log (x)]}{{(1 + \log (x))}^{2}}$

Étape 2

La dérivée de $\log (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x \ln (10)}$ .

$\frac{(1 + \log (x)) \frac{1}{x \ln (10)} - \log (x) \frac{d}{d x} [1 + \log (x)]}{{(1 + \log (x))}^{2}}$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + \log (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\log (x)]$ .

$\frac{(1 + \log (x)) \frac{1}{x \ln (10)} - \log (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\log (x)])}{{(1 + \log (x))}^{2}}$

Étape 3.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(1 + \log (x)) \frac{1}{x \ln (10)} - \log (x) (0 + \frac{d}{d x} [\log (x)])}{{(1 + \log (x))}^{2}}$

Étape 3.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [\log (x)]$ .

$\frac{(1 + \log (x)) \frac{1}{x \ln (10)} - \log (x) \frac{d}{d x} [\log (x)]}{{(1 + \log (x))}^{2}}$

Étape 4

La dérivée de $\log (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x \ln (10)}$ .

$\frac{(1 + \log (x)) \frac{1}{x \ln (10)} - \log (x) \frac{1}{x \ln (10)}}{{(1 + \log (x))}^{2}}$

Étape 5

Associez $\frac{1}{x \ln (10)}$ et $\log (x)$ .

$\frac{(1 + \log (x)) \frac{1}{x \ln (10)} - \frac{\log (x)}{x \ln (10)}}{{(1 + \log (x))}^{2}}$

Étape 6

Pour écrire $(1 + \log (x)) \frac{1}{x \ln (10)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x \ln (10)}{x \ln (10)}$ .

$\frac{(1 + \log (x)) \frac{1}{x \ln (10)} \cdot \frac{x \ln (10)}{x \ln (10)} - \frac{\log (x)}{x \ln (10)}}{{(1 + \log (x))}^{2}}$

Étape 7

Associez $(1 + \log (x)) \frac{1}{x \ln (10)}$ et $\frac{x \ln (10)}{x \ln (10)}$ .

$\frac{\frac{(1 + \log (x)) \frac{1}{x \ln (10)} (x \ln (10))}{x \ln (10)} - \frac{\log (x)}{x \ln (10)}}{{(1 + \log (x))}^{2}}$

Étape 8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{(1 + \log (x)) \frac{1}{x \ln (10)} (x \ln (10)) - \log (x)}{x \ln (10)}}{{(1 + \log (x))}^{2}}$

Étape 9

Associez $x$ et $\frac{1}{x \ln (10)}$ .

$\frac{\frac{(1 + \log (x)) \frac{x}{x \ln (10)} \ln (10) - \log (x)}{x \ln (10)}}{{(1 + \log (x))}^{2}}$

Étape 10

Associez $\ln (10)$ et $\frac{x}{x \ln (10)}$ .

$\frac{\frac{(1 + \log (x)) \frac{\ln (10) x}{x \ln (10)} - \log (x)}{x \ln (10)}}{{(1 + \log (x))}^{2}}$

Étape 11

Annulez le facteur commun de $\ln (10)$ .

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Étape 11.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{(1 + \log (x)) \frac{\ln (10) x}{x \ln (10)} - \log (x)}{x \ln (10)}}{{(1 + \log (x))}^{2}}$

Étape 11.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{(1 + \log (x)) \frac{x}{x} - \log (x)}{x \ln (10)}}{{(1 + \log (x))}^{2}}$

Étape 12

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 12.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{(1 + \log (x)) \frac{x}{x} - \log (x)}{x \ln (10)}}{{(1 + \log (x))}^{2}}$

Étape 12.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{(1 + \log (x)) \cdot 1 - \log (x)}{x \ln (10)}}{{(1 + \log (x))}^{2}}$

Étape 13

Multipliez $1 + \log (x)$ par $1$ .

$\frac{\frac{1 + \log (x) - \log (x)}{x \ln (10)}}{{(1 + \log (x))}^{2}}$

Étape 14

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{\frac{1 + \log (\frac{x}{x})}{x \ln (10)}}{{(1 + \log (x))}^{2}}$

Étape 15

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 15.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{1 + \log (\frac{x}{x})}{x \ln (10)}}{{(1 + \log (x))}^{2}}$

Étape 15.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{1 + \log (1)}{x \ln (10)}}{{(1 + \log (x))}^{2}}$

Étape 16

Réécrivez $\frac{\frac{1 + \log (1)}{x \ln (10)}}{{(1 + \log (x))}^{2}}$ comme un produit.

$\frac{1 + \log (1)}{x \ln (10)} \cdot \frac{1}{{(1 + \log (x))}^{2}}$

Étape 17

Multipliez $\frac{1 + \log (1)}{x \ln (10)}$ par $\frac{1}{{(1 + \log (x))}^{2}}$ .

$\frac{1 + \log (1)}{x \ln (10) {(1 + \log (x))}^{2}}$

Étape 18

Simplifiez

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Étape 18.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 18.1.1

La base logarithmique $10$ de $1$ est $0$ .

$\frac{1 + 0}{x \ln (10) {(1 + \log (x))}^{2}}$

Étape 18.1.2

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{1}{x \ln (10) {(1 + \log (x))}^{2}}$

Étape 18.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{x {(1 + \log (x))}^{2} \ln (10)}$

Étape 18.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{1}{x {(1 + \log (x))}^{2} \ln (10)}$ .

$\frac{1}{x \ln (10) {(1 + \log (x))}^{2}}$