Calcul infinitésimal Exemples

$y = \ln ({(x + 2)}^{5})$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = {(x + 2)}^{5}$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme ${(x + 2)}^{5}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{5}]$

Étape 1.2

La dérivée de $\ln (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{5}]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par ${(x + 2)}^{5}$ .

$\frac{1}{{(x + 2)}^{5}} \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{5}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{5}$ et $g (x) = x + 2$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $x + 2$ .

$\frac{1}{{(x + 2)}^{5}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{5}] \frac{d}{d x} [x + 2])$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$\frac{1}{{(x + 2)}^{5}} (5 {u_{2}}^{4} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $x + 2$ .

$\frac{1}{{(x + 2)}^{5}} (5 {(x + 2)}^{4} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Associez $5$ et $\frac{1}{{(x + 2)}^{5}}$ .

$\frac{5}{{(x + 2)}^{5}} ({(x + 2)}^{4} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Étape 3.2

Simplifiez les termes.

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Étape 3.2.1

Associez ${(x + 2)}^{4}$ et $\frac{5}{{(x + 2)}^{5}}$ .

$\frac{{(x + 2)}^{4} \cdot 5}{{(x + 2)}^{5}} \frac{d}{d x} [x + 2]$

Étape 3.2.2

Déplacez $5$ à gauche de ${(x + 2)}^{4}$ .

$\frac{5 \cdot {(x + 2)}^{4}}{{(x + 2)}^{5}} \frac{d}{d x} [x + 2]$

Étape 3.2.3

Annulez le facteur commun à ${(x + 2)}^{4}$ et ${(x + 2)}^{5}$ .

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Étape 3.2.3.1

Factorisez ${(x + 2)}^{4}$ à partir de $5 {(x + 2)}^{4}$ .

$\frac{{(x + 2)}^{4} \cdot 5}{{(x + 2)}^{5}} \frac{d}{d x} [x + 2]$

Étape 3.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.2.3.2.1

Factorisez ${(x + 2)}^{4}$ à partir de ${(x + 2)}^{5}$ .

$\frac{{(x + 2)}^{4} \cdot 5}{{(x + 2)}^{4} (x + 2)} \frac{d}{d x} [x + 2]$

Étape 3.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{{(x + 2)}^{4} \cdot 5}{{(x + 2)}^{4} (x + 2)} \frac{d}{d x} [x + 2]$

Étape 3.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{5}{x + 2} \frac{d}{d x} [x + 2]$

Étape 3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{5}{x + 2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{5}{x + 2} (1 + \frac{d}{d x} [2])$

Étape 3.5

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{5}{x + 2} (1 + 0)$

Étape 3.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.6.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{5}{x + 2} \cdot 1$

Étape 3.6.2

Multipliez $\frac{5}{x + 2}$ par $1$ .

$\frac{5}{x + 2}$