Calcul infinitésimal Exemples

$y = \log_{3} (x^{2} - 3 x)$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \log_{3} (x)$ et $g (x) = x^{2} - 3 x$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} - 3 x$ .

$\frac{d}{d u} [\log_{3} (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x]$

Étape 1.2

La dérivée de $\log_{3} (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u \ln (3)}$ .

$\frac{1}{u \ln (3)} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} - 3 x$ .

$\frac{1}{(x^{2} - 3 x) \ln (3)} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x]$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 3 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{1}{(x^{2} - 3 x) \ln (3)} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x])$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{(x^{2} - 3 x) \ln (3)} (2 x + \frac{d}{d x} [- 3 x])$

Étape 2.3

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{(x^{2} - 3 x) \ln (3)} (2 x - 3 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{(x^{2} - 3 x) \ln (3)} (2 x - 3 \cdot 1)$

Étape 2.5

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$\frac{1}{(x^{2} - 3 x) \ln (3)} (2 x - 3)$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{x^{2} \ln (3) - 3 x \ln (3)} (2 x - 3)$

Étape 3.2

Réorganisez les facteurs de $\frac{1}{x^{2} \ln (3) - 3 x \ln (3)} (2 x - 3)$ .

$(2 x - 3) \frac{1}{x^{2} \ln (3) - 3 x \ln (3)}$

Étape 3.3

Factorisez $x \ln (3)$ à partir de $x^{2} \ln (3) - 3 x \ln (3)$ .

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Étape 3.3.1

Factorisez $x \ln (3)$ à partir de $x^{2} \ln (3)$ .

$(2 x - 3) \frac{1}{x \ln (3) (x) - 3 x \ln (3)}$

Étape 3.3.2

Factorisez $x \ln (3)$ à partir de $- 3 x \ln (3)$ .

$(2 x - 3) \frac{1}{x \ln (3) (x) + x \ln (3) (- 3)}$

Étape 3.3.3

Factorisez $x \ln (3)$ à partir de $x \ln (3) (x) + x \ln (3) (- 3)$ .

$(2 x - 3) \frac{1}{x \ln (3) (x - 3)}$

Étape 3.4

Multipliez $2 x - 3$ par $\frac{1}{x \ln (3) (x - 3)}$ .

$\frac{2 x - 3}{x \ln (3) (x - 3)}$