Calcul infinitésimal Exemples

$y = e^{6 x \sin (2 x)}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 6 x \sin (2 x)$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $6 x \sin (2 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [6 x \sin (2 x)]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [6 x \sin (2 x)]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $6 x \sin (2 x)$ .

$e^{6 x \sin (2 x)} \frac{d}{d x} [6 x \sin (2 x)]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 2.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x \sin (2 x)$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x \sin (2 x)]$ .

$e^{6 x \sin (2 x)} (6 \frac{d}{d x} [x \sin (2 x)])$

Étape 2.2

Déplacez $6$ à gauche de $e^{6 x \sin (2 x)}$ .

$6 \cdot e^{6 x \sin (2 x)} \frac{d}{d x} [x \sin (2 x)]$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = \sin (2 x)$ .

$6 e^{6 x \sin (2 x)} (x \frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $2 x$ .

$6 e^{6 x \sin (2 x)} (x (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x]) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.2

La dérivée de $\sin (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\cos (u_{2})$ .

$6 e^{6 x \sin (2 x)} (x (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x]) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $2 x$ .

$6 e^{6 x \sin (2 x)} (x (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 5

Différenciez.

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Étape 5.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 e^{6 x \sin (2 x)} (x (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$6 e^{6 x \sin (2 x)} (x (\cos (2 x) (2 \cdot 1)) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 5.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.3.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$6 e^{6 x \sin (2 x)} (x (\cos (2 x) \cdot 2) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 5.3.2

Déplacez $2$ à gauche de $\cos (2 x)$ .

$6 e^{6 x \sin (2 x)} (x (2 \cdot \cos (2 x)) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 5.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$6 e^{6 x \sin (2 x)} (x (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x) \cdot 1)$

Étape 5.5

Multipliez $\sin (2 x)$ par $1$ .

$6 e^{6 x \sin (2 x)} (x (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x))$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$6 e^{6 x \sin (2 x)} (x (2 \cos (2 x))) + 6 e^{6 x \sin (2 x)} \sin (2 x)$

Étape 6.2

Multipliez $2$ par $6$ .

$12 e^{6 x \sin (2 x)} x \cos (2 x) + 6 e^{6 x \sin (2 x)} \sin (2 x)$