Calcul infinitésimal Exemples

$y = e^{\cos (x^{2})}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = \cos (x^{2})$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\cos (x^{2})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\cos (x^{2})$ .

$e^{\cos (x^{2})} \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = x^{2}$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $x^{2}$ .

$e^{\cos (x^{2})} (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 2.2

La dérivée de $\cos (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $- \sin (u_{2})$ .

$e^{\cos (x^{2})} (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $x^{2}$ .

$e^{\cos (x^{2})} (- \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$e^{\cos (x^{2})} (- \sin (x^{2}) (2 x))$

Étape 3.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$e^{\cos (x^{2})} (- 2 \sin (x^{2}) x)$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Réorganisez les facteurs de $e^{\cos (x^{2})} (- 2 \sin (x^{2}) x)$ .

$- 2 e^{\cos (x^{2})} x \sin (x^{2})$

Étape 4.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- 2 e^{\cos (x^{2})} x \sin (x^{2})$ .

$- 2 x e^{\cos (x^{2})} \sin (x^{2})$