Calcul infinitésimal Exemples

$y = e^{a x} \sin (B x)$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = e^{a x}$ et $g (x) = \sin (B x)$ .

$e^{a x} \frac{d}{d x} [\sin (B x)] + \sin (B x) \frac{d}{d x} [e^{a x}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = B x$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $B x$ .

$e^{a x} (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [B x]) + \sin (B x) \frac{d}{d x} [e^{a x}]$

Étape 2.2

La dérivée de $\sin (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\cos (u_{1})$ .

$e^{a x} (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [B x]) + \sin (B x) \frac{d}{d x} [e^{a x}]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $B x$ .

$e^{a x} (\cos (B x) \frac{d}{d x} [B x]) + \sin (B x) \frac{d}{d x} [e^{a x}]$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Comme $B$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $B x$ par rapport à $x$ est $B \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{a x} (\cos (B x) (B \frac{d}{d x} [x])) + \sin (B x) \frac{d}{d x} [e^{a x}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$e^{a x} (\cos (B x) (B \cdot 1)) + \sin (B x) \frac{d}{d x} [e^{a x}]$

Étape 3.3

Multipliez $B$ par $1$ .

$e^{a x} (\cos (B x) B) + \sin (B x) \frac{d}{d x} [e^{a x}]$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = a x$ .

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Étape 4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $a x$ .

$e^{a x} (\cos (B x) B) + \sin (B x) (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [a x])$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ est $a^{u_{2}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{a x} (\cos (B x) B) + \sin (B x) (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [a x])$

Étape 4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $a x$ .

$e^{a x} (\cos (B x) B) + \sin (B x) (e^{a x} \frac{d}{d x} [a x])$

Étape 5

Différenciez.

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Étape 5.1

Comme $a$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $a x$ par rapport à $x$ est $a \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{a x} (\cos (B x) B) + \sin (B x) (e^{a x} (a \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$e^{a x} (\cos (B x) B) + \sin (B x) (e^{a x} (a \cdot 1))$

Étape 5.3

Multipliez $a$ par $1$ .

$e^{a x} (\cos (B x) B) + \sin (B x) (e^{a x} a)$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$e^{a x} B \cos (B x) + e^{a x} a \sin (B x)$

Étape 6.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{a x} B \cos (B x) + e^{a x} a \sin (B x)$ .

$B e^{a x} \cos (B x) + a e^{a x} \sin (B x)$