Calcul infinitésimal Exemples

$y = e^{k \tan (\sqrt{5 x})}$

Étape 1

Simplifiez en factorisant.

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Étape 1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5 x}$ comme ${(5 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{k \tan ({(5 x)}^{\frac{1}{2}})}]$

Étape 1.2

Factorisez $5$ à partir de $5 x$ .

$\frac{d}{d x} [e^{k \tan ({(5 (x))}^{\frac{1}{2}})}]$

Étape 1.3

Appliquez la règle de produit à $5 (x)$ .

$\frac{d}{d x} [e^{k \tan (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = k \tan (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $k \tan (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [k \tan (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [k \tan (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $k \tan (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})$ .

$e^{k \tan (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d x} [k \tan (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})]$

Étape 3

Comme $k$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $k \tan (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})$ par rapport à $x$ est $k \frac{d}{d x} [\tan (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})]$ .

$e^{k \tan (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})} (k \frac{d}{d x} [\tan (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})])$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \tan (x)$ et $g (x) = 5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ .

$e^{k \tan (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})} k (\frac{d}{d u_{2}} [\tan (u_{2})] \frac{d}{d x} [5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}])$

Étape 4.2

La dérivée de $\tan (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\sec^{2} (u_{2})$ .

$e^{k \tan (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})} k (\sec^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}])$

Étape 4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ .

$e^{k \tan (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})} k (\sec^{2} (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}])$

Étape 5

Différenciez.

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Étape 5.1

Comme $5^{\frac{1}{2}}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $5^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$e^{k \tan (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})} k \sec^{2} (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) (5^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Étape 5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$e^{k \tan (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})} k \sec^{2} (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) (5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Étape 6

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$e^{k \tan (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})} k \sec^{2} (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) (5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

Étape 7

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$e^{k \tan (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})} k \sec^{2} (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) (5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

Étape 8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$e^{k \tan (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})} k \sec^{2} (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) (5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

Étape 9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$e^{k \tan (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})} k \sec^{2} (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) (5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))$

Étape 9.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$e^{k \tan (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})} k \sec^{2} (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) (5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))$

Étape 10

Placez le signe moins devant la fraction.

$e^{k \tan (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})} k \sec^{2} (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) (5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))$

Étape 11

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$e^{k \tan (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})} k \sec^{2} (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) (5^{\frac{1}{2}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Étape 12

Associez $5^{\frac{1}{2}}$ et $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$e^{k \tan (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})} k \sec^{2} (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) \frac{5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Étape 13

Placez $x^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{k \tan (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})} k \sec^{2} (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) \frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 14

Associez $e^{k \tan (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}$ et $\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$k \sec^{2} (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) \frac{e^{k \tan (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})} \cdot 5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 15

Associez $\frac{e^{k \tan (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})} \cdot 5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ et $k$ .

$\frac{e^{k \tan (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})} \cdot 5^{\frac{1}{2}} k}{2 x^{\frac{1}{2}}} \sec^{2} (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})$

Étape 16

Associez $\frac{e^{k \tan (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})} \cdot 5^{\frac{1}{2}} k}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ et $\sec^{2} (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{e^{k \tan (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})} \cdot 5^{\frac{1}{2}} k \sec^{2} (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 17

Simplifiez

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Étape 17.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{k \tan (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})} \cdot 5^{\frac{1}{2}} k \sec^{2} (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{k e^{k \tan (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})} \cdot 5^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 17.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{5^{\frac{1}{2}} e^{k \tan (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})} k \sec^{2} (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 17.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{5^{\frac{1}{2}} e^{k \tan (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})} k \sec^{2} (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{k \cdot 5^{\frac{1}{2}} e^{k \tan (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})} \sec^{2} (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$