Calcul infinitésimal Exemples

$y = e^{m x} \cos (n x)$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = e^{m x}$ et $g (x) = \cos (n x)$ .

$e^{m x} \frac{d}{d x} [\cos (n x)] + \cos (n x) \frac{d}{d x} [e^{m x}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = n x$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $n x$ .

$e^{m x} (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [n x]) + \cos (n x) \frac{d}{d x} [e^{m x}]$

Étape 2.2

La dérivée de $\cos (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $- \sin (u_{1})$ .

$e^{m x} (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [n x]) + \cos (n x) \frac{d}{d x} [e^{m x}]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $n x$ .

$e^{m x} (- \sin (n x) \frac{d}{d x} [n x]) + \cos (n x) \frac{d}{d x} [e^{m x}]$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Comme $n$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $n x$ par rapport à $x$ est $n \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{m x} (- \sin (n x) (n \frac{d}{d x} [x])) + \cos (n x) \frac{d}{d x} [e^{m x}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$e^{m x} (- \sin (n x) (n \cdot 1)) + \cos (n x) \frac{d}{d x} [e^{m x}]$

Étape 3.3

Multipliez $n$ par $1$ .

$e^{m x} (- \sin (n x) n) + \cos (n x) \frac{d}{d x} [e^{m x}]$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = m x$ .

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Étape 4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $m x$ .

$e^{m x} (- \sin (n x) n) + \cos (n x) (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [m x])$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ est $a^{u_{2}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{m x} (- \sin (n x) n) + \cos (n x) (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [m x])$

Étape 4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $m x$ .

$e^{m x} (- \sin (n x) n) + \cos (n x) (e^{m x} \frac{d}{d x} [m x])$

Étape 5

Différenciez.

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Étape 5.1

Comme $m$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $m x$ par rapport à $x$ est $m \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{m x} (- \sin (n x) n) + \cos (n x) (e^{m x} (m \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$e^{m x} (- \sin (n x) n) + \cos (n x) (e^{m x} (m \cdot 1))$

Étape 5.3

Multipliez $m$ par $1$ .

$e^{m x} (- \sin (n x) n) + \cos (n x) (e^{m x} m)$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$- e^{m x} n \sin (n x) + e^{m x} m \cos (n x)$

Étape 6.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- e^{m x} n \sin (n x) + e^{m x} m \cos (n x)$ .

$- n e^{m x} \sin (n x) + m e^{m x} \cos (n x)$