Calcul infinitésimal Exemples

$y = e^{5 x \sin (x)}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 5 x \sin (x)$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $5 x \sin (x)$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [5 x \sin (x)]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [5 x \sin (x)]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $5 x \sin (x)$ .

$e^{5 x \sin (x)} \frac{d}{d x} [5 x \sin (x)]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 2.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x \sin (x)$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x \sin (x)]$ .

$e^{5 x \sin (x)} (5 \frac{d}{d x} [x \sin (x)])$

Étape 2.2

Déplacez $5$ à gauche de $e^{5 x \sin (x)}$ .

$5 \cdot e^{5 x \sin (x)} \frac{d}{d x} [x \sin (x)]$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = \sin (x)$ .

$5 e^{5 x \sin (x)} (x \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$5 e^{5 x \sin (x)} (x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 5

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 5.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$5 e^{5 x \sin (x)} (x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1)$

Étape 5.2

Multipliez $\sin (x)$ par $1$ .

$5 e^{5 x \sin (x)} (x \cos (x) + \sin (x))$

Étape 6

Appliquez la propriété distributive.

$5 e^{5 x \sin (x)} x \cos (x) + 5 e^{5 x \sin (x)} \sin (x)$